人教版高中数学必修二教材用书直线与方程3.1-2两条直线平行与垂直的判定word版含答案2

08/807/8/3．1.2两条直线平行与垂直的判定两条直线平行[提出问题]平面几何中，两条直线平行，同位角相等．问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？提示：相等．问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定．可能平行也可能重合．[导入新知]对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2?k1＝k2.[化解疑难]对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．两条直线垂直[提出问题]已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝eq\f(\r(3),3)，k2＝－eq\r(3).问题2：上述问题中两直线l1，l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－1.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：一定．[导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2?k1k2＝－1.[化解疑难]对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1⊥l2?k1·k2＝－1，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．两条直线平行的判定[例1]根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，eq\r(3))，N(－2，－2eq\r(3))；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．[解](1)由题意知，k1＝eq\f(5－1,－3－2)＝－eq\f(4,5)，k2＝eq\f(－7＋3,8－3)＝－eq\f(4,5)，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝eq\f(5－?－3?,－3－3)＝－eq\f(4,3)≠－eq\f(4,5)，故l1∥l2.(2)由题意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝eq\f(4－?－1?,3－?－2?)＝1，故直线l1与直线l2重合．(3)由题意知，k1＝tan60°＝eq\r(3)，k2＝eq\f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq\r(3)，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.[类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]求证：顺次连接A(2，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(7,2)))，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形(如图所示)．证明：因为kAB＝eq\f(－\f(7,2)－?－3?,5－2)＝－eq\f(1,6)，kCD＝eq\f(4－3,－4－2)＝－eq\f(1,6)，所以kAB＝kCD，从而AB∥CD.因为kBC＝eq\f(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2))),2－5)＝－eq\f(13,6)，kDA＝eq\f(－3－4,2－?－4?)＝－eq\f(7,6)，所以kBC≠kDA，从而直线BC与DA不平行．因此，四边形ABCD是梯形．两条直线垂直的问题[例2]已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．[解]设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l2的斜率存在．当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，由k1·k2＝－1，得eq\f(－3－a,a－2－3)·eq\f(a－2－3,－1－2)＝－1，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.[类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.[活学活用]已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．答案：(1,0)或(2,0)平行与垂直的综合应用[例3]已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．[解]由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－?－4?)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－?－4?)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．[类题通法]1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．[活学活用]已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．解：设D(x，y)，则kAB＝eq\f(2,3－1)＝1，kBC＝eq\f(4－2,0－3)＝－eq\f(2,3)，kCD＝eq\f(y－4,x)，kDA＝eq\f(y,x－1).因为AB⊥CD，AD∥BC，所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×\f(y－4,x)＝－1，,\f(y,x－1)＝－\f(2,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－6.))即D(10，－6)．eq\a\vs4\al(,,8.利用平行或垂直确定参数值)[典例](12分)已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1⊥l2，求m的值．[解题流程][规范解答][名师批注]①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值，解答过程不严谨．②①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值，解答过程不严谨．②处讨论k2＝0和k2≠0两种情况．③此处易漏掉检验，做解答题要注意解题的规范．且k2＝eq\f(2－?m＋2?,1－?－2?)＝－eq\f(m,3)①.(2分)(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，得eq\f(2－m,m－4)＝－eq\f(m,3)，解得m＝1或m＝6，(4分)经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥leq\o\al(③,2).(6分)(2)若l1⊥l2，当k2＝0②时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；(8分)当k2≠0②时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，即－eq\f(m,3)·eq\f(2－m,m－4)＝－1，解得m＝3或m＝－4，(10分)所以m＝3或m＝－4时，l1⊥leq\o\al(③,2).(12分)[活学活用]已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB＝eq\f(4－2,－2m－4－?－m－3?)＝eq\f(2,－?m＋1?)，kCD＝eq\f(3m＋2－m,3－?－m?)＝eq\f(2?m＋1?,m＋3).因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.综上，m的值为1或－1.[随堂即时演练]1．下列说法正确的有()①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案：A2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直答案：D3．已知直线l1的倾斜角α1为30°，l2⊥l1，则l2的斜率k2＝________，l2的倾斜角α2＝________.答案：－eq\r(3)120°4．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．答案：eq\f(14,5)5．判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．答案：(1)l1⊥l2(2)l1⊥l2(3)l1∥l2(4)l1∥l2[课时达标检测]一、选择题1．已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则mA．1 B．－1C．2 D．－2答案：B2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形答案：C3．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为()A．(0，－6) B．(0,7)C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)答案：C4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：C5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形答案：B二、填空题6．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.答案：07．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．答案：48．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.答案：(－9,0)三、解答题9．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1,0)，B(1,1)，C(0,2)，试分别求△ABC三条边上的高所在直线的斜率．解：设边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为k1，k2，k3.因为kAB＝eq\f(1－0,1－?－1?)＝eq\f(1,2)，所以由kAB·k1＝－1，可得k1＝－2；因为kAC＝eq\f(2－0,0－?－1?)＝2，所以由kAC·k2＝－1，可得k2＝－eq\f(1,2)；因为kBC＝eq\f(2－1,0－1)＝－1，所以由kBC·k3＝－1，可得k3＝1.综上可得，边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为－2，－eq\f(1,2)，1.10．直线l1