新教材北师大版必修第二册第四章2.4积化和差与和差化积公式作业

第四章三角恒等变换2.4积化和差与和差化积公式基础过关练题组一对积化和差与和差化积公式的理解1.下列各式中不正确的是()A.sinα+sinβ=2sinβ+αB.cosα+cosβ=2cosβ+αC.sinα-sinβ=2cosβ+αD.cosα-cosβ=2sinβ+α2.(2020山东济南三中高一期末)sinπ4+αcosπ4+β化成和差的形式为()A.sin12(α+β)+1B.cos12(α+β)+1C.sin12(α+β)+1D.cos12(α+β)+1题组二利用公式化简、求值3.(2020四川成都七中高一期中)sin20°+cos10°可化简为()A.sin50° B.cos50° C.sin350° D.cos350°4.sin37.5°cos7.5°的值为()A.22 B.C.2+14 5.化简cosα-A.tanα B.tan2α C.1tanα D.-tan6.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是()A.14 B.32 C.127.(2020吉林省实验中学高一期中)已知α-β=π3且cosα-cosβ=13,则cosA.223 C.±223 8.(2020辽宁沈阳高一期末)若cosα+π4cosα-3π4=-13,则sin2α等于()A.23 B.-43 C.139.若sin(α+β)=23,sin(α-β)=15,则sinαcosβ的值是10.(2020山西临汾一中高一期末)化简sinα·sin(60°+α)·sin(60°-α)=.?11.求下列各式的值.(1)2cos50°cos70°-cos20°;(2)sin80°cos40°-12sin(3)sin37.5°sin22.5°-12cos(4)cos40°-cos80°-3sin20°.题组三利用公式研究函数的性质12.(2020山东潍坊中学高一期末)函数f(x)=4sinx·sinπ3-A.1 B.3 C.-1 D.213.(2020河北沧州高一期中)函数y=cosx·cosx-π3的最小正周期为()A.4π B.2π C.π D.π14.(2020湖北荆门高一期末)函数y=sin2x+sin215.在△ABC中,若B=30°,则cosAsinC的取值范围是.?能力提升练题组积化和差与和差化积公式的综合应用1.(2020山东泰安高一期末,)计算sin10°+sin50A.14 B.1C.2 D.42.(2020湖南岳阳一中高一期末,)若sinα+sinβ=1213,cosα+cosβ=613,则tanα+A.2 B.12C.-2 D.-13.(2020天津耀华中学高一期末,)sin20°+sin40°+sin60°-sin80°=()A.12 B.2C.32 4.()在△ABC中,若2sinAsinB=1+cosC,则△ABC的形状是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.钝角三角形 D.直角三角形5.(2020甘肃武威高一期末,)若3(sinα+sinβ)=cosα-cosβ,且α,β∈(0,π),则α-β的值等于()A.π3 B.-πC.2π3 6.(2020山东潍坊高一期中,)函数y=sin2x+π3+sin2x-π3在0,π6上的最小值为()A.-3 B.0 C.-1 D.-17.(多选)(2020福建泉州高一期中,)函数f(x)=sinx+π3-cos2π3-xA.x=-π12 B.x=11C.x=π6 D.x=8.(2020江苏宿迁高一期末,)cos2π7+cos4π7+cos69.(2020甘肃兰州一中高一期末,)在△ABC中,若2cosC2=sinA+sinBcosA10.(2020陕西咸阳高一期末,)已知3tanα-π12=tanα+π1211.(2020山东烟台高一期末,)△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC答案全解全析第四章三角恒等变换2.4积化和差与和差化积公式基础过关练1.C 2.B 3.C 4.C 5.B6.A 7.C 8.C 12.A 13.C1.C由和差化积公式可知,sinα-sinβ=2cos(β+α)/2sin(α"-"β)/2,故C不正确.2.Bsin(π/4+α)cosπ/4+β=1/2sinπ/4+α+π/4+β+sinπ/4+α-π/4-β=1/2?sinπ/2+α+β+sin(α-β)=1/2?cos(α+β)+1/2sin(α-β).3.Csin20°+cos10°=sin20°+sin80°=2sin50°cos(-30°)=√3sin50°.4.Csin37.5°cos7.5°=1/2(sin45°+sin30°)=(√2+1)/4.5.B(cosα"-"cos3α)/(sin3α"-"sinα)=("-"2sin2αsin"(-"α")")/2cos2αsinα=tan2α.6.A原式=1/2[sin90°+sin(-50°)]-1/2?(cos60°-cos40°)=1/2-1/2sin50°-1/4+1/2cos40°=1/4.7.C由cosα-cosβ=1/3,得-2sin(α+β)/2?sin(α"-"β)/2=1/3,又α-β=π/3,所以sin(α+β)/2=-1/3,所以cos(α+β)/2=±√(1"-"sin^2(α+β)/2)=±(2√2)/3.8.C因为cosα+π/4cosα-3π/4=1/2?cosα+π/4+α-3π/4+cosα+π/4-α+3π/4=1/2cos2α-π/2+cosπ=1/2?(sin2α-1)=-1/3,所以sin2α=1/3.9.答案13/30解析sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]=1/2×2/3+1/5=13/30.10.答案1/4sin3α解析原式=sinα?1/2[-cos(60°+α+60°-α)+cos(60°+α-60°+α)]=sinα?1/21/2+cos2α=1/4sinα+1/2sinαcos2α=1/4sinα+1/2?1/2[sin3α+sin(-α)]=1/4sin3α.11.解析(1)2cos50°cos70°-cos20°=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos20°=cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-1/2.(2)sin80°cos40°-1/2sin40°=1/2[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]-1/2?sin40°=1/2(sin120°+sin40°)-1/2sin40°=√3/4.(3)sin37.5°sin22.5°-1/2cos15°=-1/2[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-1/2cos15°=-1/2(cos60°-cos15°)-1/2cos15°=-1/2cos60°=-1/4.(4)cos40°-cos80°-√3sin20°=-2sin(40"°"+80"°")/2sin(40"°-"80"°")/2-√3sin20°=-2sin60°sin(-20°)-√3sin20°=√3sin20°-√3sin20°=0.12.Af(x)=4sinxsinπ/3-x=4×("-"1/2)cosx+π/3-x-cosx-π/3+x=-2cosπ/3-cos2x-π/3=2cos2x-π/3-1,故函数的最大值为1.13.Cy=cosx?cosx-π/3=1/2cosx+x-π/3+cosx-x+π/3=1/2cos2x-π/3+1/4,故函数的最小正周期T=2π/2=π.14.答案π/2解析由于y=(sin2x+sin(2x+π/3))/(cos2x+cos(2x+π/3))=(2sin(2x+π/6)cos("-"π/6))/(2cos(2x+π/6)cos("-"π/6))=tan2x+π/6,故函数的最小正周期T=π/2.15.答案-1/4,3/4解析由于B=30°,所以A+C=150°,因此cosAsinC=1/2[sin(A+C)-sin(A-C)]=1/2sin150°-1/2sin(A-C)=1/4-1/2sin(A-C),由A+C=150°,得0°<A<150°,0°<C<150°,因此-150°<A-C<150°,于是-1≤sin(A-C)≤1,-1/4≤1/4-1/2sin(A-C)≤3/4,故cosAsinC的取值范围是-1/4,3/4.能力提升练1.C 2.A 3.C 4.B 5.D6.B 7.CD 1.C原式=(2sin30"°"cos20"°")/("-"1/2"("cos90"°-"cos20"°)")=cos20"°"/(1/2cos20"°")=2,故选C.2.A由已知得2sin(α+β)/2cos(α"-"β)/2=12/13,2cos(α+β)/2cos(α"-"β)/2=6/13,两式相除得tan(α+β)/2=(12/13)/(6/13)=2.3.C原式=sin20°-sin80°+sin40°+sin60°=2cos50°sin(-30°)+cos50°+sin60°=sin60°=√3/2.4.B由已知得-2×1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]=1+cosC,即cosC+cos(A-B)=1+cosC,因此cos(A-B)=1,所以A-B=0,即A=B,无法判断C是否等于A或B,也无法判断C是不是直角或钝角,所以△ABC是等腰三角形.5.D由已知得2√3sin(α+β)/2cos(α"-"β)/2=-2sin(α+β)/2sin(α"-"β)/2,由于α,β∈(0,π),所以(α+β)/2∈(0,π),故sin(α+β)/2≠0,因此tan(α"-"β)/2=-√3.又因为cosα-cosβ>0,所以α<β,因此(α"-"β)/2∈-π/2,0,所以(α"-"β)/2=-π/3,故α-β=-2π/3.6.By=sin2x+π/3+sin2x-π/3=2sin(2x+π/3+2x"-"π/3)/2cos(2x+π/3"-"2x+π/3)/2=2sin2xcosπ/3=sin2x,由于x∈0,π/6,所以2x∈0,π/3,故函数在0,π/6上的最小值为0.7.CDf(x)=sinx+π/3-cos2π/3-x=sinx+π/3-sinx-π/6=2cos(x+π/3+x"-"π/6)/2sin(x+π/3"-"x+π/6)/2=√2cosx+π/12,令x+π/12=kπ,k∈Z,得x=kπ-π/12,k∈Z,所以其图象的对称轴方程为x=kπ-π/12(k∈Z),因此x=π/6和x=5π/12不可能是其图象的对称轴.8.答案-1/2解析原式=((cos""2π/7+cos""4π/7+cos""6π/7)sin""π/7)/(sin""π/7)=(1/2(sin""3π/7"-"sin""π/7+sin""5π/7"-"sin""3π/7+sin""π"-"sin""5π/7))/(sin""π/7)=("-"1/2sin""π/7)/(sin""π/7)=-1/2.9.解析由已知得√2cosC/2=(2sin""(A+B)/2cos""(A"-"B)/2)/(2cos""(A+B)/2cos""(A"-"B)/2),所以√2cosC/2=(sin""(A+B)/2)/(cos""(A+B)/2),即√2cosC/2=(cos""C/2)/(cos""(A+B)/2),于是cos(A+B)/2=√2/2,又(A+B)/2∈(0,π),所以(A+B)/2=π/4,故A+B=π/2,即C=π/2,无法判断A是否等于B,故三角形ABC是直角三角形.10.证明因为3tanα-π/12=tanα+π/12,所以(3sin(α"-"π/12))/(cos(α"-"π/12))=(sin(α+π/12))/(cos(α+π/12)),所以3sinα-π/12cosα+π/12=sinα+π/12cosα-π/12,因此3/2sin2α-sinπ/6=1/2sin2α+sinπ/6,即3sin2α-3/2=sin