2007年所有数模竞赛本文根据近5的人口调查数据和战略发展报告对问

本文根据近5年的人口数据和国家人口发展报告对人口的发展问一部分是2003年数据中的妇育率与其他几年的数据相比相差一个数量级，200220040d 取的是di, 量形式的差分方程X(k1)LX(k)建立离散模型，求得三部分的女性 506随时间变化的人口发展模型（7)，得到的预测结果应该在长期的预测中是的出现时段，分析了化现象带来的影响，发现到2020年左右时，红利期面临着一个转折，到2032年左右时，中国一个新的人口负债期，从而对人口线性插值Leslie矩阵人口发展方程一．问题重已有数据，运用数学建模的方法，人口做出分析和预测是一个重要问题比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着口的增长2007年初发布的《国家人口发展》(附录1)还做出了进一步的分 以搜索相关文献和补充新的数据，建立口增长的数学模型，并人建立的模型中的优点与不足之二．问题分 有关，我们建立向量形式的差分方程的Leslie模型。 等间隔地分成91个组，每一岁为一个组，与年1年为一个时段。Leslie矩阵是关于女性率及存活率的矩阵。而在表格中，人口的相关因33组相应的率及存活率，进而构建3个Leslie矩阵。然后利用向量形式的差分方程，便可预测出任何时段K按组的人口数量分布。考虑到乡村人口城镇化，即人口迁移，相当于对 段存活率产生影响设第 组第j区的净迁入率为ni,

(净迁移率=迁入率－迁出率)进一步影响出生率。只需要将Leslie矩阵做对应修改即可得到相应的结果。Leslie模型中率和存活率都是关于各个段的常量故我们需要对Leslie模型进行改进，建立一个关于时间t的连续模型，根据讨论率及存活率关于时间t的连续变化情况，建立相关的人口发展模型，达到改进模型的目的。，。近年来口的发展出现了一些新的特点化进程加剧，出生人口，。“三．符号说j=11j=22j=33xi(k):第k年第i组的女性数j(k):第j区第k年女性组的分布向量Ci,j:第i组处于第j区女性平均率di,j:第i组处于第j区女性平均存活率fi,j(k):第k年第i组处于j区的女性率gi,j(k):第k年第i组处于j区的妇育率pj(k):第k年第j区的新生儿为的概率qj(k):第k年第j区的育龄妇育m:育龄区间的

N(r,t)：表示t时刻小于r的人口总N(ttP(rt)(x,t)：率函w(r,t)：R（tS（t(t) 化指(t：am 人类的上型的数据处理数据修1．方法利用同组不为0的数据对0数据进行线性插 将0数据进行修正2．01年-05的妇育率对比，可发现03年的数据与其他年份的对应数据相差1个数量级，故我们采取删除措施，不考虑03年的城市妇育率（当故我们决定将03年的率数据不予考虑）各参数的确立1j=1Leslie矩阵构建城市女性人口结1．各段平 率的确 求5年内的城市 育率的5个数值的平均值的方法来代表各个段在这 育率为0，我们只需要求取这35个值便可。例如以20岁这一20岁的妇女从2001年到2005年的城市妇育率的数据g20,1(k)如下所示表1城市妇育，由于2003年的数据反差太大其筛选出来，即不对03年的妇育率做4个数据进行平均值求解，即：，_g

平均妇育_即20岁这个段妇女5年内的平均率g20,1为16.86_些育龄妇女的平均率gi,1求出_表 15-49岁平均妇育率g2．各段的率的确根据样本计算总和1.4左右，这与报告中所说“20年代中后期，总和率已降至1.8左右，并稳定至今”不符，这说明样本率并不能完全反应整体率，我们通过育龄率及育龄区间，妇女平均_gi,[而各区育龄总和（Yj）=育 率（qj(k)）*育龄区间即:率=女性出生率*(育龄率*育龄区间)*妇女平均20岁为例子加以说明(即i=20，j=1)新生儿为女性概率=100/（男女出生比例表 男女出生比则新生儿为的概率：p1(k)表 育龄率q1(k93511725383_求平均值得到q则育龄总和为:Y=20岁的妇女测平均率已求出为:16.86.所以20岁女性的率b20.1=0.472*1407*16.86*10^(-依次类推，便可求得15岁到49岁的率3．各段妇女的平均率的确划分为0-90岁，而各段在01年到05的率是互不相同的，为20050-905年内的平均率。(方法同上)。4．各存活率 率是对等的，故由公式存活率=1-率可知di,j1ci,j5由各段妇女的率和平均存活率便可建立城市妇女的Leslie矩阵L12j=2，3，即分别属于镇，乡人口时，我们同上方法亦可得到各参数，并建立其LeslieL2L3。模型一（离散模型模型假不考虑生存空间等自然资源及意 率仅与段有关，存活率也仅 段有关总人数计算中以男女比例为常 模型建分别将市镇乡女性群体按大小等间隔地分成n个组比如每一岁为一 要别比函数即可得到总人口，以一岁为一个组，一年为一个时段ik年i岁的女性人数为x(k)。 率只 i和地域j有关，记i岁处于ji女性的率为b育龄区间为[i,i]设率也只与i和地域j有关 1i岁处于j区女性的率为c存活率为

b和c

第k+1年第一组女性人群数量是第k年各组女性人群数nni

第k+1年第n组女性人群数量是第k年第n-1及n组存活下xn(k1)dn1,jxn1(k)dn,jxn(k

第k+1年第i+1组女性人群数量是第k年第i组存的xi1(k1)di,jxi(k记第k年女性人群按组的分布向量

X(k)[x(k),x(k),...,

(k

由率bi,j和存活率di,j构成的Leslie矩 bn,j 01,

d2,

Lj

dn1, dn,jXj(k1)LjXj(k),

当矩阵L和按组的初始分布向量X(0)已知时，既可以预测第k年女性人 组的分布 X(k)LkX

1,2,...33X(k)Xj(k),k1,j

模型求始分布向量X(0)即可以预测出以后各年的人群按组的分布以及总人口数来进行计算，从而预测以后50年的人口总数，并参照给出了以后50年的劳动人数和20-29岁旺期育龄妇女数。1：口中短期及长期预表 未来总人口数预（2020年（2030年（2050年图1- 未来我国总人口预204415.678203315亿人左右。两者年份相差比较大，但由于年份本身是不确定的，而（图1-2未来我国总人口、劳动人口及人口抚养比预测资料来源：《国家人口发展研究·人口发展预测》课题27（2020年（2030年（2050年8图 未来我国劳动人口预201310.271-2201610.1（3：中龄化、中短期及长期预表 化比率预（2020年（2030年（2050年化岁岁如图所示014图 未来我国人口化预其中60203565岁以上2039年达到峰值 （具体源代码及结果参见附录604030%652039年达到峰22%。此时的化程度与已有的预测值在50年内比较一致数据处理比较吻合，图3-2未来我国人口化预4：我国育龄妇女（15—49岁）表 育龄妇女（15—49岁）人数预（2020年（2030年（2050年4-1未来我国育龄妇女（15—49岁）人数预测4-2：未来我国育龄妇女（15-49）（5：我国旺盛期育龄妇女（20—29岁）人数中短期及长期预测表10 育龄妇女（20—29岁）人数预测（2020年（2030年（2050年女（20-图5－1未来我国旺盛期育龄妇女（20—29岁）人数预 （具体源代码参见附录经过比较可以发现旺盛期育龄妇女的前45年左右数据基本与国家人口发展研究的预测值相吻合，不过到2050年左右，数据的变化趋势明显不模型改考虑到乡村人口城镇化，即人口迁移，相当于对各段存活率产生影响设第 组第j区的净迁入率为ni,

(净迁移率=迁入率－迁出率)率=原存活率＋净迁入率，由于比持续升高，将会影响的出生量，从而进一步影响出生率，只需要将Leslie矩阵做对应修改即可得到相应的结果。参数变化对预测结果模型中所涉及参数为各区各段的率及率1当率降低（升高，率不变时，则通过Leslie矩阵计算后所得到2当率不变，率降低（升高）时，相应的存活率升高，即Leslie矩3（大k次方后也相应变小（大，4当率升高（降低，率也升高（降低）时，率只能逐步影响预测结果，而率能很快速的影响预测结果，当两者变化率相同时率对，由于医疗水平的提高，率将会普遍下降，随着男女出生比例持续升高，则Leslie矩阵（女性）率将会降低，即为4情况。模型评 例如在2005年到2020年由于20世纪80年代至90年代出生人口 但是模型一中我们把率率等因素当作常量来考虑而实际上，的，我们不应该再视其为一个定值，而应该考虑时间对率及率的影响故我们需要对模型一进行进一步改进模型二（连续模型，的增长的相关因素的影响。使人口数量和结构变化的因素不外乎出生率以，模型假只考虑出生率与率对人口的影模型的建立——人口发展设r表示，t表示时间，N(r,t)表示t时刻小于r的人口总数，即口分布函数。其中r，t（〉0）的连续变量，N(r,t)是连续，可微的。记am为人 的上限，N(t)为t时的总人口数，设P(r,t)N(r,t)为人口密度，(x,t)当rmP(x,0)P0

N(rt)N(rm,t)P(rt)N(rt)(xt)P(r,t)P(r,t)(r,t)P(r,

P(r,0)P0(r),P(0,t)fP(xtrN(r,t)0p(st)dsr函数的确0101然后用曲线拟合的方法求解出01t每年的，每个段的率有所不同，故我们不能把率只看成是一个关于段的常量来看而应该综合考虑时间的影响于是我们根据表格数据，将5年内的人口率按段进行分别划分并求出各段在这5年内的平均率，然后根据人口报告中的城，镇，乡的人口比例，可总结出人口中各段在5年内的率，共91组数据。然后将这些数据用数学软件拟合并求出相应的函数表达式，即可。记女性比例函数为w(r,t)，则时刻t某一段[r,rdr)的女性人数为w(r,t)p(r,t)dr而单位时间内每位女性的数大致为1.8育龄区间为[r1r2]，f(t)=1.8r1运用微分方程的原理与方法便可求解出婴儿率的相应函数模型求人口发展方程和婴儿出生数f(t)，的 率函数(r, 比函数w(r,t)和初始密度函数P0(r)可以通过数值，6P(rt)P(rt)

r (x,tr

0t f(r

(x,t [4]人口指 来简明扼要地表示我们国家或地区的人口特征m1人口总数m 平均

N(t)

平均

R(t)1mr*p(r,t)drN(t)0rS(t)r

(x,t 化指数

r(t)(t)

越大 依赖性指数(t)N(t)代表平均每个劳动者所要供养的人数

（L(t模型扩展——人口增长与经济关联模个较高的水平之前，形成一个15岁至64岁的劳动力资源比较丰富，少儿与老人国家 3050年，但的人口结构决定中国将在未来几十年内会出现一个转折点即我国在未11，01477，0，014%图 人口抚养比例预录2020（相应的，人口抚养比也达到了第一个上升的极限。2021口比例一直小于60﹪，而人口抚养比例超出60﹪时，中国一个新的时改善人口结构合理人口分布开发人力资源不乘未来近15年的“期”题，而又“不至于”导致率急剧上升。是现行的一个很实际，很有效的措施六．参考文 ，数值分析，湖南，中南大 ，2003年，第37页 率(镇 /TJ_Pczl/rkpc/wenjian/t3712.L0601B.htm，20079Leslie人口模型 /doc/926986，2007年9月22日谢金星，数学模型（第三版，高等教育，2003年164页。期 923七.附附录1：对市未来50年的人口预测值的代 745.28b=[0.2350.370.56 1.47 0.68333 0.376670.330.29forify<16|a(1，y)=0

fori=2:1:91forif

a(i，j)=0q=[0.410.30.350.380.420.390.440.450.460.460.510.50.540.560.690.780.760.750.630.60.670.830.750.710.820.830.770.880.880.970.991.061.061.151.090.820.940.971.081.260.90.570.740.670.840.90.830.860.90.790.760.630.660.520.520.490.430.440.410.420.40.420.380.410.360.380.350.340.260.220.240.180.170.150.150.120.130.10.080.070.060.050.050.030.02for forv=1:1:50forl=1:1:50for附录2：对镇未来50年的人口预测值的代999 bb=[0.240.81333 4.45 forifyy<16|yy>50

forii=2:1:91forif

qq=[0.460.390.420.460.490.510.550.550.570.610.630.690.650.710.930.920.90.740.530.50.520.630.620.680.740.790.790.870.880.980.961.071.0741.081.051.061.230.920.440.580.520.720.810.740.730.780.710.690.530.580.470.470.430.390.420.360.330.320.340.30.340.290.280.30.230.120.130.130.110.080.080.050.060.050.030.02for forvv=1:1:100forll=1:1:100for附录3：对乡未来50年的人口预测值的代999 bbb=[ 5.37 1.030.53forifyyy<16|

foriii=2:1:91forif

qqq=[0.51 0.440.490.510.510.570.60.650.690.720.780.850.931.181.090.970.780.610.620.590.690.630.640.640.630.570.670.680.80.780.850.90.961.060.860.970.910.921.020.790.440.520.480.640.720.730.720.750.670.590.580.550.490.480.430.40.40.360.340.350.320.280.320.30.30.280.280.250.240.240.190.20.160.140.140.140.110.10.090.070.050.050.040.02for forvvv=1:1:100forlll=1:1:100for附录4：对未来50年各年的总人口数预测的代forhold 1.0228e+0091.0325e+0091.0425e+0091.0643e+0091.0762e+0091.0885e+0091.1007e+0091.1126e+0091.1347e+0091.1445e+0091.1534e+0091.1614e+0091.1683e+0091.1794e+0091.1833e+0091.1865e+0091.1892e+0091.1917e+0091.1975e+0091.2011e+009 1.2092e+0091.2139e+0091.2246e+0091.2306e+0091.2371e+0091.2437e+0091.2505e+0091.2637e+0091.2699e+0091.2754e+0091.2806e+009 1.2923e+0091.2951e+0091.2975e+0091.2999e+0091.3019e+009 附录5：对未来50年各年每个段的人口数预测的源代forfor附录6：对未来50年中每年1564岁总的人口数预测的代forfor fori=1:1:50asdff＝asdf(i)/as(i);lims=[1 hold 1.0006e+0091.0092e+0091.0161e+0091.0208e+009 1.0272e+0091.0266e+0091.0223e+0091.0181e+0091.0036e+0099.9365e+0089.8392e+008 9.8011e+0089.7634e+0089.8001e+008 9.8841e+0089.7699e+008 9.6947e+008 9.5926e+0089.4351e+0089.3616e+0089.2876e+0089.2243e+0089.1513e+0089.0443e+0089.0154e+0088.9787e+0088.9495e+0088.9364e+0088.9198e+0088.9435e+0088.9755e+0089.0134e+0089.0196e+0088.9778e+008forfor forfor holdonholdon附录8：育龄妇女（15—49岁）50forforj=16:1:50women1(i)=holdlims=[1 附录9：育旺盛期育龄妇女（20—29岁）50forforj=21:1:30women2(i)=hold附录10：人口抚养比曲线的源代 1.0006e+0091.0092e+0091.0161e+0091.0208e+0091.0248e+009 1.0272e+0091.0266e+0091.0223e+0091.0181e+0091.0036e+0099.9365e+0089.8392e+008 9.8011e+0089.7634e+0089.8001e+008 9.8841e+0089.7699e+008 9.6947e+008 9.5926e+0089.4351e+0089.3616e+0089.2876e+0089.2243e+0089.1513e+0089.0443e+0089.0154e+0088.9787e+0088.9495e+0088.9364e+0088.9198e+0088.9435e+0088.9755e+0089.0134e+0089.0196e+0088.9778e+008 1.3641e+0091.3754e+0091.3864e+0091.3975e+0091.409e+0091.4212e+0091.4338e+0091.4467e+0091.4594e+0091.4715e+0091.4935e+009 1.5112e+0091.5184e+0091.5242e+0091.5324e+0091.5346e+0091.5358e+0091.5363e+0091.5366e+0091.5375e+0091.5385e+0091.5396e+0091.5411e+0091.5429e+0091.5474e+0091.5502e+0091.5532e+0091.5562e+0091.5593e+0091.5643e+0091.5663e+0091.5673e+0091.5678e+0091.5674