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文档简介
2.5.1平面几何的向量方法一、三维目标:知识与技能:能用向量方法解决某些简单的平面几何问题.了解向量是一种处理几何问的工具。过程与方法:通过具体例子,体会利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题的方法的步骤。情感态度与价值观:培养学生自主学习,合作探究,勇于创新,多方位审视问题的方法和技巧。二、学习重、难点:重点:能用向量方法解决某些简单的平面几何问题。难点:建立平面几何与向量的联系,灵活利用向量的线性运算及数量积运算求解。三、学法指导:向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接化为向量,对这些向量借助它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果。四、知识链接:1向量求和的法则:①三角形法则②平行四边形法则2向量减法的法则:3向量共线定理:五、学习过程:问题1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长ABABCD证明:平行四边形四边平方和等于两对角线平方和。规律总结:(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步,虽然任意两个不共线的向量都可以作基底,但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂.(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势,有关线段的长度、平行、夹角等问题都可以考虑向量法.练习:用向量法证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示,已知⊙O,AB为直径,C为⊙O上任意一点。求证ABCO问题2.你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗?用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何元素。简述:形到向量------向量的运算------向量和数到形ABCDEABCDERTF六、达标检测:1.平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.2.以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,M为BC的中点,求证:AM⊥EF。3.如右图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=1/3BD,求证:M、N、C三点共线.七、学习小结:八、课后反思:
2.5.1平面几何的向量方法的答案例1、已知:平行四边形ABCD,求证:.分析:因为平行四边形对边平行且相等,故设其它线段对应向量用它们表示。解:设,∴练习:分析:要证∠ACB=90°,只须证向量,即。解:设则,由此可得:即,∠ACB=90°。例2、解:设则由于与共线,故设又因为共线,所以设因为所以线,,故AT=RT=TC。达标检测:解:设eq\o(AD,\s\up6(→))=a,eq\o(AB,\s\up6(→))=b,则eq\o(BD,\s\up6(→))=a-b,eq\o(AC,\s\up6(→))=a+b.而|eq\o(BD,\s\up6(→))|=2,即|a-b|=2,∴(a-b)2=4,a2-2a·b+b2=4.又a2=1,b2=4,∴2a·b=1.又|eq\o(AC,\s\up6(→))|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=6,∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|=eq\r(6),即AC=eq\r(6).解:如下图,设eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,eq\o(AF,\s\up6(→))=c,eq\o(AE,\s\up6(→))=d.则eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(a+b).eq\o(EF,\s\up6(→))=c-d,因为a·c=0,b·d=0,|a|=|c|,|b|=|d|.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(a+b)·(c-d)=eq\f(1,2)(b·c-a·d).而a·d=|a||d|cos∠EAB,b·c=|b||c|cos∠FAC,∠EAB=∠FAC.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))=0,即eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→)),AM⊥EF.3、分析:本题主要考查向量的线性运算及用向量法证明多点共线问题,欲证M、N、C三点共线,只需证明eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(MC,\s\up6(→))即可.证明:eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\o(BN,\s\up6(→))-eq\o(BM,\s\up6(→)),∵eq\o(BM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)),eq\o(BN,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))),∴eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))-eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))①,eq\o(MC,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))-eq\o(BM,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))-eq\f(1
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