黑龙江省大兴安岭市漠河县一中数学新人教A版必修4学案2.5.1平面几何的向量方法

2.5.1平面几何的向量方法一、三维目标：知识与技能：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题．了解向量是一种处理几何问的工具。过程与方法：通过具体例子，体会利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题的方法的步骤。情感态度与价值观：培养学生自主学习，合作探究，勇于创新，多方位审视问题的方法和技巧。二、学习重、难点：重点：能用向量方法解决某些简单的平面几何问题。难点：建立平面几何与向量的联系，灵活利用向量的线性运算及数量积运算求解。三、学法指导：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接化为向量，对这些向量借助它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果。四、知识链接：1向量求和的法则：①三角形法则②平行四边形法则2向量减法的法则：3向量共线定理：五、学习过程：问题1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长ABABCD证明:平行四边形四边平方和等于两对角线平方和。规律总结：(1)合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽然任意两个不共线的向量都可以作基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂．(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可以考虑向量法．练习：用向量法证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证ABCO问题2.你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。简述：形到向量------向量的运算------向量和数到形ABCDEABCDERTF六、达标检测：1.平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．2.以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，M为BC的中点，求证：AM⊥EF。3.如右图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝1/3BD，求证：M、N、C三点共线．七、学习小结：八、课后反思：

2.5.1平面几何的向量方法的答案例1、已知：平行四边形ABCD，求证：.分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。解：设，∴练习：分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°。例2、解：设则由于与共线，故设又因为共线，所以设因为所以线，，故AT=RT=TC。达标检测：解：设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.而|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，即|a－b|＝2，∴(a－b)2＝4，a2－2a·b＋b2＝4.又a2＝1，b2＝4，∴2a·b＝1.又|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).解：如下图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝c，eq\o(AE,\s\up6(→))＝d.则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b).eq\o(EF,\s\up6(→))＝c－d，因为a·c＝0，b·d＝0，|a|＝|c|，|b|＝|d|.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·(c－d)＝eq\f(1,2)(b·c－a·d)．而a·d＝|a||d|cos∠EAB，b·c＝|b||c|cos∠FAC，∠EAB＝∠FAC.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，AM⊥EF.3、分析：本题主要考查向量的线性运算及用向量法证明多点共线问题，欲证M、N、C三点共线，只需证明eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(MC,\s\up6(→))即可．证明：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))，∵eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))①，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1