（新教材）新素养人教A版高中数学必修第二册学案6．1平面向量的概念

6．1平面向量的概念考点学习目标核心素养平面向量的相关概念了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象平面向量的几何表示掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量(向量的模)能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))是相等向量吗？1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量．(2)有向线段①定义：具有方向的线段．②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))．④长度：线段AB的长度也叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意eq\o(AB,\s\up6(→))的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量，长度大的向量较大．()(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．()(3)向量的模是一个正实数．()(4)向量就是有向线段．()(5)向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))是相等向量．()(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．()(7)零向量是最小的向量．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×(7)×已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A．也可以用eq\o(MN,\s\up6(→))表示 B．方向是由M指向NC．起点是M D．终点是M答案：D已知点O固定，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，则A点构成的图形是()A．一个点 B．一条直线C．一个圆 D．不能确定答案：C如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量有________．答案：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))向量的相关概念给出下列命题：①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；②在?ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；③若a＝b，b＝c，则a＝c.其中所有正确命题的序号为________．【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．【答案】②③eq\a\vs4\al()(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．(2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．1．下列说法中正确的是()A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．2．下列说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))就是eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线平行于eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量与任一向量平行D．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C.向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))包含eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线与eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))，使|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))，使|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东方向上；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))，使|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．【解】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量eq\o(OA,\s\up6(→))，如图所示．(2)由于点B在点A正东方向上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq\r(3)≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量eq\o(BC,\s\up6(→))，如图所示．eq\a\vs4\al()用有向线段表示向量的步骤已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq\r(2)km到达D地．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？解：(1)由题意，作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2000km.又因为∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1000eq\r(2)km.共线向量与相等向量如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，在每两点所确定的向量中．(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？【解】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).(2)与a共线的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).1．[变条件、变问法]本例中若eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．解：与a相等的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EO,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq\o(FO,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→)).2．[变问法]本例条件不变，与eq\o(AD,\s\up6(→))共线的向量有哪些？解：与eq\o(AD,\s\up6(→))共线的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→)).eq\a\vs4\al()共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.[注意]对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．1．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))共线，下列关于向量eq\o(AC,\s\up6(→))的说法中，正确的为()A．向量eq\o(AC,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))一定同向B．向量eq\o(AC,\s\up6(→))，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，向量eq\o(BC,\s\up6(→))一定共线C．向量eq\o(AC,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))一定相等D．以上说法都不正确解析：选B.根据共线向量的定义，可知eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))这三个向量一定为共线向量，故选B.2．如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(BC,\s\up6(→))共线的向量．解：(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形，所以BC∥AD∥DE，BC＝AD＝DE，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→)).故与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(2)与eq\o(BC,\s\up6(→))共线的向量共有7个，分别是eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).1.如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与eq\o(AE,\s\up6(→))平行的向量的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.图中与eq\o(AE,\s\up6(→))平行的向量为eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))共3个．2．下列结论中正确的是()①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|.A．①③ B．②③C．③④ D．②④解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量；(2)与eq\o(OB,\s\up6(→))长度相等的向量；(3)与eq\o(DA,\s\up6(→))共线的向量．解：画出图形，如图所示．(1)易知BC∥AD，BC＝AD，所以与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，所以与eq\o(OB,\s\up6(→))长度相等的向量为eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→)).(3)与eq\o(DA,\s\up6(→))共线的向量为eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).[A基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是()①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是eq\f(a,|a|).A．3 B．2C．1 D．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a共线的单位向量是eq\f(a,|a|)或－eq\f(a,|a|)，故④也是错误的．2．下列说法正确的是()A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B．终点相同的两个向量不共线C．若|a|>|b|，则a>bD．单位向量的长度为1解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))C．|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))| D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))解析：选D.由题图可知，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(FC,\s\up6(→))|，但eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(FC,\s\up6(→))的方向不同，故eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(FC,\s\up6(→))，故选D.4．设O是△ABC的外心，则eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是()A．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是模相等的向量．5．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤eq\f(a,|a|)＝b，其中正确的有()A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤解析：选B.①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝1，故④不正确；⑤eq\f(a,|a|)是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________．解析：因为正方形的对角线长为2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为eq\o(AD,\s\up6(→))(其中D在边BC上运动)，则向量eq\o(AD,\s\up6(→))长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为eq\f(5\r(3),2).答案：eq\f(5\r(3),2)8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________．解析：因为A，B，C不共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线．又m与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))都共线，所以m＝0.答案：09.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量eq\o(FC,\s\up6(→))共线的向量；(2)求证：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→)).解：(1)由共线向量满足的条件得与向量eq\o(FC,\s\up6(→))共线的向量有：eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→)).(2)证明：在?ABCD中，AD綊BC.又E，F分别为AD，BC的中点，所以ED綊BF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE綊FD，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→)).10．已知在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，求eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．(1)四边形ABCD是等腰梯形；(2)四边形ABCD是平行四边形．解：(1)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，且eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不平行．因为eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，同时两向量不平行．(2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))(或eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)))．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．[B能力提升]11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是()A．与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B．与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C．eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰为eq\o(DA,\s\up6(→))模的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D.eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))解析：选D.由平面几何知识知，eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))；eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→))；eq\o(PE,\s\up6(→))与eq\o(PF,\s\up6(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up6(→))≠eq\o(PF,\s\up6(→))；eq\o(EP,\s\up6(→))与eq\o(PF,\s\up6(→))的模相等且方向相同，所以eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)).13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若eq\o(AC,\s\up6(→))的模为2，eq\o(BC,\s\up6(→))的模为3，eq\