哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇-第4章-机械振动基础

第四章机械振动基础振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摇摆，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。

利：振动给料机弊：磨损，削减寿命，影响强度振动筛引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等消耗能量，降低精度等。3.探讨振动的目的：消退或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。2.振动的利弊：1.所谓振动就是系统在平衡位置旁边作往复运动。

4.振动的分类：单自由度系统的振动

按振动系统的自由度分类多自由度系统的振动连续体的振动

按振动产生的原因分类：自由振动：无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动受迫振动：无阻尼的受迫振动有阻尼的受迫振动自激振动本章重点探讨单自由度系统的自由振动和受迫振动。第四章机械振动基础§4-1单自由度系统的自由振动§4-2计算固有频率的能量法§4-3单自由度系统的有阻尼自由振动§4-4单自由度系统的无阻尼受迫振动§4-5单自由度系统的有阻尼受迫振动§4-6转子的临界转速§4-7隔振§4-8两个自由度系统的自由振动§4-9两个自由度系统的受迫振动·动力减振器§4-1单自由度系统的自由振动1.自由振动微分方程l0kkxOxl0dstFPl0——弹簧原长；k——弹簧刚度系数；st——弹簧的静变形；取静平衡位置为坐标原点，x向下为正，则有：复原力：物体偏离平衡位置后受到的与偏离距离成正比且与偏离方向相反的合力l0mkdst只在复原力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动令，则无阻尼自由振动微分方程的标准形式。二阶齐次线性常系数微分方程，其通解为无阻尼自由振动是简谐振动2.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动f

称为振动的频率，表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或Hzw0

称为固有角（圆）频率（固有频率），表示每2p秒内振动的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。（2）振幅与初相位A——相对于振动中心O的最大位移，称为振幅。0t+q——确定了质点在某瞬时t的位置，称为相位。q——确定质点运动的初始位置，称为初相角。

振幅A和初相角q

—两个待定常数由运动的初始条件确定。例题1mv提升重物系统中，钢丝绳的横截面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性模量E＝200GPa。重物的质量m＝6000kg，以匀速

v＝0.25m/s下降。当重物下降到

l＝25m时，钢丝绳上端突然被卡住。l求：（1）重物的振动规律；（2）钢丝绳承受的最大张力。解：（1）重物的振动规律

钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧质量系统，弹簧的刚度为mk静平衡位置Ox设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为坐标，则系统的振动方程为方程的解为利用初始条件求得重物的运动方程为mk静平衡位置OxmxPFT（2）钢丝绳承受的最大张力。取重物为探讨对象l固定端

均质等截面悬臂梁，长度为l,弯曲刚度为EI。梁的自由端放置一质量为m的物块，其静挠度为dst。若不计梁的质量，物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。例题2mEIl固定端dstOx

解：此无重弹性梁相当于一个弹簧，其静挠度相当于弹簧的静伸长，则梁的刚度系数为分析物块运动到随意位置(坐标为x)时的受力，有P=mgFxdstmEIl固定端Ox设，则上述振动微分方程的解为初始条件为振幅为初相角为系统的自由振动规律为3.弹簧的并联与串联（1）弹簧并联并联则此并联系统的固有频率为串联（2）弹簧串联则此串联系统的固有频率为（3）多个弹簧的并联和串联n个弹簧并联后的等效刚度系数n个弹簧并联系统的固有频率n个弹簧串联后的等效刚度系数n个弹簧串联系统的固有频率

图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为

k1、k2

、k3

、k4且k1=2k2=3k3=4k4。假设质量为m的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。例题3试求此系统的固有频率。解：（1）计算3、4的等效刚度（2）计算2、3、4的等效刚度k4k3k2k1mk4k3k2k1m（3）计算系统的等效刚度（4）计算系统的固有频率？1mkO在图中，当把弹簧原长在中点O固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比值为。kkml在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为0，现将物块和上部的弹簧换位，即将物块移至最上端处，假设系统照旧能发生振动，则系统的固有频率=0。？21/24.其他类型的单自由度振动系统工程上很多振动系统都可以用相同形式的运动微分方程表示扭振系统由刚体转动微分方程有令，则例题4

图示结构中，不计质量的杆OA在水平位置处于平衡，若k、m、a、l等均为已知。

求：系统微振动的固有频率mgF解：取静平衡位置为其坐标原点，由刚体转动微分方程，有在静平衡位置处，有考虑到微转角，则mkalOA在静平衡位置处，有考虑到微转角，则mgFmkalOA§4-2计算固有频率的能量法kxOxl0dst物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒解：设OA杆作自由振动时，其摆角的变更规律为系统的最大动能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有例题5由能量法解例题4mkalOA例题6

半径为r、质量为m的均质圆柱体，

在固定不动、半径为R的刚性圆槽内作纯滚动。求：1、圆柱体的运动微分方程；2、微振动固有频率。RCORCO（用其次类拉格朗日方程解）由运动学可知：解：取摆角为广义坐标，则系统的动能系统的势能拉格朗日函数为RCORCO微振动固有频率为例题7由能量法求固有频率解：设摆角的变更规律为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为RCO考虑到微转角，则由机械能守恒定律有RCORCO其它方法？刚体的平面运动微分方程？达朗贝尔原理？虚位移原理？

半径为r、质量为m的均质圆柱体，

在固定不动、半径为R的刚性圆槽内作纯滚动。求：1、圆柱体的运动微分方程；2、微振动固有频率。动能原理？§4-3单自由度系统的有阻尼自由振动

阻尼－振动过程中的阻力。干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。当振动速度不大时，由介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。c－粘性阻力系数（阻力系数）1.阻尼kmc2.振动微分方程mkmcOxFeFdv取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。物块的运动微分方程为弹性复原力粘性阻尼力令阻尼系数本征方程本征根本征根为实数或复数时，通解的形式不同，运动规律有很大的不同。设其解为振动微分方程的通解为3.欠阻尼状态振动微分方程的解为利用初始条件求得或

当d

<0

时，阻力系数，这时阻尼较小，称为欠阻尼状态。本征方程的两个根为共轭复数，即：衰减振动TdA2A1衰减振动的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系：两个相邻振幅之比称为减缩因数振幅对上式两端取自然对数，得到对数减缩阻尼比振动频率下降比例（%）减缩因数减缩因数10个周期后振幅与原振幅之比（%）0.010.0051.0650.93953.3470.020.0201.1340.88228.4540.030.0451.2080.82815.1710.040.0801.2860.7788.0840.050.1251.3700.7304.3040.060.1801.4590.6852.2900.070.2451.5540.6431.2170.080.3211.6560.6040.6460.090.4061.7640.5670.3420.100.5011.8800.5320.1814.临界阻尼和过阻尼状态振动微分方程的解为C1和C2两个积分常数由运动的初始条件确定。物体的运动随时间的增长无限地趋向平衡位置，运动已经不具备振动的特点。

当d

=0

时，阻力系数，称为临界阻力系数。本征方程有两个相等的实根，即：振动微分方程的解为C1和C2两个积分常数由运动的初始条件确定。

当d>

0

时，阻力系数，称为过阻尼状态。本征方程有两个不等的实根，即：所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x0，不具备振动特性。

质量弹簧系统，P=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系数c。解：由于很小，

例题8§4-4单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动的概念受迫振动：在外加激振力作用下的振动。简谐激振力：

H—力幅；

—激振力的角频率；j

—激振力的初相位。无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。1、振动微分方程

为对应齐次方程的通解为特解全解为：稳态受迫振动3、受迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。2.受迫振动的振幅1、在简谐激振力下，单自由度系统受迫振动亦为简谐振动。2、受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。

(1)→0时(2)时，振幅b随增大而增大；当时，(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。

b

随增大而减小；—振幅比或称动力系数

—频率比—

曲线振幅频率曲线（幅频特性曲线，共振曲线）13、共振现象，这种现象称为共振。此时，§4-5单自由度系统的有阻尼受迫振动将上式两端除以m

，并令有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。x1是齐次方程的通解欠阻尼：（A、q

积分常数，取决于初始条件）x2是特解：代入标准形式方程并整理—受迫振动的振幅—受迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为

衰减振动强迫振动

振动起先时，二者同时存在的过程——瞬态过程。仅剩下受迫振动部分的过程——稳态过程（需着重探讨部分）

频率比振幅比阻尼比因此：阻尼对受迫振动的影响1、振动规律简谐振动。2、频率：有阻尼受迫振动的频率，等于激振力的频率。3、振幅

(1)(2)阻尼也可忽略。(3)阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。—共振频率此时：

相位差有阻尼受迫振动相位总比激振力滞后一相位角，称为相位差。(1)总在0至区间内变化。(2)相频曲线（-曲线）是一条单调上升的曲线。随增大而增大。(3)共振时=1，，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线，均交于这一点。(4)>1时，随增大而增大。当>>1时，反相。

例题9已知P=3500N，k=20000N/m,H=100N,f=2.5Hz

,c=1600N·s/m,求b,,受迫振动方程。解：

§4-6转子的临界转速