2023届高考数学专题10.1统计与概率的检测同步单元双基双测（A卷）文

专题10.1统计与概率的检测〔测试时间：120分钟总分值：150分〕一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1.某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂效劳的满意度，用分层抽样从中抽取300人，那么学生甲被抽到的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】考点：分层抽样方法；列举法计算根本领件数及事件发生的概率．2.【2023广东广州一模】四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．假设硬币正面朝上，那么这个人站起来；假设硬币正面朝下，那么这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为〔〕．A.B.C.D.【答案】B【解析】四个人抛硬币的可能结果有种，有不相邻人站起来的可能为：正反正反，反正反正，只有人站起来的可能有种，没有人站起来的可能有种，所以所求概率为：．选B.3.【2023江西宜春调研】从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个，那么所抽取的数字之和能被4整除的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意，从5个数字中随机抽取3个，所有的情况为〔1，2，3〕，〔1，2，4〕，〔1，2，5〕，〔1，3，4〕，〔1，3，5〕，〔1，4，5〕，〔2，3，4〕，〔2，3，5〕，〔2，4，5〕，〔3，4，5〕，共10种可能，其中满足条件的为〔1，2，5〕，〔1，3，4〕，〔3，4，5〕，共3种可能，故所求概率，应选A.4.【2023河南五市十校联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，那么田忌的马获胜的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】A应选：A.5.【2023河北衡水联考】如下图是油罐车的轴截面图形，在此图形中任取一点，那么此点取自中间矩形局部的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由图易知：油罐车的轴截面的面积为：，中间矩形局部的面积为：8∴此点取自中间矩形局部的概率为应选：A【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．〔3〕几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．根本领件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法〞求解几何概型的概率．6.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为，从{1，2，3}中随机选取一个数为，那么的概率是()A．B．C．D．【答案】D【解析】考点:古典概型7.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如下图，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人，从该车间6名工人中任取2人，那么恰有1名优秀工人的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：平均数为，故有人是优秀，所以概率为.考点：茎叶图，平均数．8.在矩形中，，,点为矩形内一点，那么使得的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：几何概型．【方法点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．根本领件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法〞求解几何概型的概率．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．9.为大力提倡“厉行节约，反对浪费〞，巴中市通过随机询问100名性别不同的居民是否做到“光盘〞行动，得到如下联表：经计算附表：参照附表，得到的正确结论是〔〕A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关〞B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别无关〞C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关〞D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别无关〞【答案】C【解析】试题分析：因为，所以在犯错概率不超过的前提下即有以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关〞．故C正确．考点：独立性检验．10.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个外表的距离均大于1，称其为“平安飞行〞，那么蜜蜂“平安飞行〞的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】考点：几何概型.11.袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球。设每个小球被抽到的时机均等，那么抽到白球或黑球的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：从袋中随机抽取3个球可能发生的事件有：红黄白，红黄黑，红黄紫，红白黑，红白紫，红黑紫，黄白黑，黄白紫，白黑紫，黄黑紫共十种，其中白球或黑球被抽到的有九种，因此所求概率为考点：古典概型；和事件；12.设复数，假设，那么的概率〔〕A．B．C．D．【答案】【解析】如图可求得,，阴影面积等于，假设，那么的概率，故答案选【考点定位】1.复数的模长；2.几何概型.二．填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕13.【2023广西质检】假设从上任取一个实数作正方形的边长，那么该正方形的面积大于4的概率为__________．【答案】【解析】由可得所求的概率为.14.在面积为S的△ABC的内部任取一点P，那么△PBC的面积小于的概率为.【答案】【解析】试题分析：记事件A={△PBC的面积小于}，根本领件空间是三角形ABC的面积，〔如图〕事件A的几何度量为图中阴影局部的面积〔DE是三角形的中位线〕，因为阴影局部的面积是整个三角形面积的，所以P〔A〕=阴影局部的面积/三角形ABC的面积=考点：几何概型15.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张〔不放回〕，两人都中奖的概率为．【答案】【解析】考点：互斥事件的概率加法公式．16.P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，那么黄豆落在△PBC内的概率是________．【答案】【解析】取边BC上的中点D，由＋＋2＝0，得＋＝2，而由向量的中点公式知＋＝2，那么有＝，即P为AD的中点，那么S△ABC＝2S△PBC，根据几何概率的概率公式知，所求的概率为.考点：几何概型三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.【2023吉林百校联盟联考】某产品的历史收益率的频率分布直方图如下图：〔1〕试计算该产品收益率的中位数；〔2〕假设该产品的售价〔元〕与销量〔万件〕之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：售价〔元〕2530384552销量〔万份〕7.57.16.05.64.8据此计算出的回归方程为，求的值；〔3〕假设从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．【答案】(1);(2)；〔3〕.试题解析：解：〔1〕依题意，所求中位数为．〔2〕，，∴．〔3〕依题意，所有销量情况为，，，，，，，，，，恰有一组超过6万件的情况为，，，，，，故所求概率．18.【2023河北衡水金卷】随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来〞，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：〔单位：人〕经常使用偶尔或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200〔1〕根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？〔2〕现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.〔i〕分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；〔ii〕从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关；(2)(i)经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人.(ii)【解析】试题分析：〔ii〕由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.试题解析：〔1〕由列联表可知，.因为，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.〔2〕〔i〕依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有〔人〕，偶尔或不用共享单车的有〔人〕.〔ii〕设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为，.那么从5人中选出2人的所有可能结果为，，，，，，，，，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，应选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.19.【2023百校联盟摸底联考】某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据，如下表所示：变量具有线性负相关关系，且，，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.〔1〕试判断谁的计算结果正确？并求出的值；〔2〕假设由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，那么该检测数据是“理想数据〞，现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据〞的概率.【答案】〔1〕,〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕求出，由此能求出，由变量具有线性负相关关系，知甲是错误的，中心点坐标满足方程，从而乙是正确的；〔2〕由计算可得“理想数据〞有3个，从检测数据中随机抽取2个，共有15种不同的情形，这两个检测数据均为“理想数据〞有3种情形，根据古典概型概率公式能求出这两个检验数据均为“理想数据〞的概率.试题解析：〔1〕因为变量具有线性负相关关系，所以甲是错误的.又易得，满足方程，故乙是正确的.由条件可得〔2〕由计算可得“理想数据〞有个，即.从检测数据中随机抽取个，共有种不同的情形，其中这两个检测数据均为“理想数据〞有种情形.故所求概率为.20.某高校在2023年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如以下图所示．〔I〕请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成以下频率分布直方图；〔Ⅱ〕为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？〔Ⅲ〕在〔2〕的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？【答案】〔I〕35,0．300〔Ⅱ〕第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人〔Ⅲ〕【解析】试题解析：〔I〕由题意知，第2组的频数为人,第3组的频率为,〔Ⅱ〕因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人．第4组:人．第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．〔Ⅲ〕设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,那么从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:其中第4组的2位同学至有一位同学入选的有:共9种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为考点：1．列举法计算根本领件数及事件发生的概率；2．频率分布直方图21.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160〕，第二组［160，165〕……第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部份，第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．〔Ⅰ〕求第七组的频率；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕假设从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，事件，求概率．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕，；〔Ⅲ〕．【解析】试题解析：〔Ⅰ〕第六组的频率为∴第七组的频率为1－0．08－5×〔0．008×2+0．016+0．04×2+0．06〕=0．06〔Ⅱ〕身高在第一、第二、第三组的频率之和为0．008×5+0．016×5+0．04×5=0．32＜0．5，身高在前四组的频率为0．32+0．04×5=0．52＞0．5，估计这所学校800名男生的身高的中位数为m，那么170＜m＜175，由0．04+0．08+0．2+〔m－170〕×0．04=0．5，解得m=174．5，由直方图得后三组频率为0．06+0．08+0．008×5=0．18，所以身高在180cm以上〔含180cm〕的人数为0．18×800=144人〔Ⅲ〕第六组a、b、c、d，第八组的人数为2人，设为A、B那么有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E