2023年高考数学第八章立体几何专题29直线、平面平行与垂直的判定与性质考场高招大全

专题29直线、平面平行与垂直的判定与性质考场高招1平面性质的三大应用规律1.解读高招规律解读典例指引点共线证明证明空间点共线,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上典例导引1(2)线共点证明证明空间三线共点,先证两条直线交于一点,再证第三条直线经过这一点,将问题转化为证明点在直线上典例导引1(3)点线共面证明(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β,最后证明平面α,β重合典例导引1(1)2.典例指引1．正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1(1)D,B,F,E四点共面;(2)假设A1C交平面DBFE于点R,那么P,Q,R(3)直线DE,BF,CC1交于同一点M.考场高招2求解异面直线所成角的方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引平移法通过作图(如结合中位线、平行四边形补形等)来构造平行线,作出异面直线所成的角,通过解三角形来求解在几何体内容易到达平移的目的典例导引2(1)补形法补成长方体或正方体补形后易于求异面直线所成角典例导引2(2)温馨提醒两异面直线所成的角转化为三角形的内角时,要注意这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角2.典例指引2(1)(2023四川凉山一诊)在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,异面直线A'D与AB'所成角的大小是.

(2)正三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,那么异面直线PB与AC所成角的正切值等于.3.亲临考场1.(2023课标Ⅱ,理10)直三棱柱ABC-A1B1C1AB=2,BC=CC1=1,那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.2.(2023课标Ⅰ,理11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,那么m,A.B. C.D.考点66直线、平面平行的判定与性质考场高招3证明线面、面面平行的方法1.解读高招方法线面平行的证明面面平行的证明典例指引判定定理法利用直线与平面平行的判定定理,关键是找到平面内与直线平行的直线,假设不存在,那么需要作辅助线利用面面平行的判定定理,关键是在一个平面内确定两条相交直线分别平行于另一个平面典例导引3(1)性质定理法利用面面平行的性质定理,将面面平行转化为线面平行利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明.利用平面平行的传递性:两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行典例导引3(2)2.典例指引3(1)正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面PMN∥平面3.亲临考场1.(2023安徽,理5)m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,那么以下命题正确的选项是()A.假设α,β垂直于同一平面,那么α与β平行B.假设m,n平行于同一平面,那么m与n平行C.假设α,β不平行,那么在α内不存在与β平行的直线D.假设m,n不平行,那么m与n不可能垂直于同一平面2.(2023课标Ⅱ,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积考点67直线、平面垂直的判定与性质考场高招4证明线面垂直、面面垂直的方法1.解读高招方法线面垂直的证明典例指引面面垂直的证明典例指引利用直线与平面的判定定理,关键是找到两条相交的直线都和直线垂直(常用方法)典例导引4(2)利用面面垂直的判定定理.一般方法是:先从现有的直线中寻找平面的垂线,假设图中存在这样的直线,那么可通过线面垂直来证明面面垂直;假设图中不存在这样的直线,那么可通过作辅助线来解决典例导引4(3)(1)假设两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面(客观题常用);(2)假设一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面(客观题常用);(3)假设两平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);(4)假设两相交平面同时垂直于第三个平面,那么这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)典例导引4(1)假设两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,那么另一个平面也垂直于第三个平面(客观题常用)典例导引4(1)2.典例指引4(1导引4(1)设α,β,γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,那么m⊥β的一个充分条件为()A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D.n⊥α,n⊥β,m⊥α(2)如图,四棱锥P-ABCD中,底面π是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.证明:BC⊥平面POM.(3)(2023广东深圳一模)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.证明:平面ACFE⊥平面ABCD.【答案】D(2)【证明】如图,连接OB,因为四边形ABCD为菱形,O为菱形中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,故OB=AB·sin∠OAB=2sin=1.又因为BM=,且∠OBM=,在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM,即OM⊥BC.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.又OM⊂平面POM,PO⊂平面POM,OM∩PO=O,所以BC⊥平面POM.(3)【证明】连接EG,∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,在△EAD和△EAB中,AD=AB,AE=AE,∠EAD=∠EAB,∴△EAD≌△EAB,∴ED=EB,∴BD⊥EG.∵AC∩EG=G,3.亲临考场1.(2023课标Ⅰ,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)假设PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的