2023年高考数学二轮复习第三部分专题二回扣溯源查缺补漏-考前提醒6平面解析几何课时规范练理

考前提醒6平面解析几何一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．(2023·全国卷Ⅲ)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，那么A∩B中元素的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点，故交点的个数为2，即A∩B元素的个数为2.答案：B2．欧拉(LeonhardEuler，国籍瑞士)是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他创造的公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)，将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞，根据此公式可知，e－4i表示的复数在复平面中位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：e－4i＝cos(－4)＋isin(－4)，因为cos(－4)＝－cos(4－π)＜0，sin(－4)＝sin(4－π)＞0，所以e－4i表示的复数在复平面中位于第二象限．答案：B3．(2023·山东卷)命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：假设a>b，那么a2>b2.以下命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析：由得p真，q假，故綈q真，所以p∧綈q真．答案：B4．中国诗词大会在央视的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如下图．假设规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人〞的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手〞的称号，其他学生得到“诗词爱好者〞的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，那么抽选的学生中获得“诗词能手〞称号的人数为()A．2 B．4C．5 D．6解析：由茎叶图可得，获“诗词能手〞的称号有16人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，那么抽选的学生中获得“诗词能手〞称号的人数为eq\f(n,10)＝eq\f(16,40)，解得n＝4人．答案：B5．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,x2＋1＋a，x＞0))(a为实数)，假设f(2－x)≥f(x)，那么x的取值范围为()A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：由题可知，函数f(x)在R上为单调增函数，因为f(2－x)≥f(x)，所以2－x≥x，解得x≤1.答案：A6．假设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的中心为O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，假设△OAB与△OMN的面积比为1∶4，那么C的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±2x D．y＝±3x解析：依题可知△AOB与△MON相似，由三角形面积比等于相似比的平方，得eq\f(1,4)＝eq\f(a2,c2)，所以eq\f(c,a)＝2，即eq\f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以C的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.答案：B7．(2023·山东卷)执行两次以下图所示的程序框图，假设第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，那么第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0，0 B．1，1C．0，1 D．1，0解析：第一次输入x的值为7，流程如下：22＜7，7不能被2整除，b＝3，32＞7，a＝1.第二次输入x的值为9，流程如下：22＜9，9不能被2整除，b＝3，b2＝9＞x＝9不成立，9能被3整除，a＝0.答案：D8．(2023·哈尔滨模拟)为了响应国家开展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛．现有10名同学参加足球射门比赛，每名同学踢进的概率均为0.6，每名同学有2次射门时机，且各同学射门之间没有影响．现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记X为10个同学的得分总和，那么X的数学期望为()A．30 B．40C．60 D．80解析：每位同学的进球个数ξ～B(2，0.6)，得E(ξ)＝2×0.6＝1.2.所以E(X)＝10×5E(ξ)＝50×1.2＝60.答案：C9．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的局部图象如下图，假设将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位得到函数g(x)的图象，那么函数g(x)的解析式是()A．2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) B．2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))C．2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) D．2cos2x解析：因为由图象知A＝2，eq\f(1,4)T＝eq\f(π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝eq\f(π,4)，所以T＝π⇒ω＝2，因为2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋φ))＝2，所以可得2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，因为|φ|＜π，所以φ＝eq\f(2π,3)，那么f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).所以图象向右平移eq\f(π,6)个单位后得到的图象解析式为g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).答案：A10．如下图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱AD，BC上，且AE＝BF＝eq\f(1,3)a，过EF的平面绕EF旋转，与DD1，CC1的延长线分别交于G，H点，与A1D1，B1C1分别交于E1，F1点．当异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为eq\f(1,3)时，GF1＝()A.eq\f(\r(19)a,3) B.eq\f(\r(19)a,9)C.eq\f(\r(2)a,3) D.eq\f(\r(2)a,9)解析：当异面直线FF1与DD1所成的角的正切值为eq\f(1,3)时，那么tan∠CHF＝eq\f(1,3)，因为CF＝eq\f(2,3)a，所以CH＝2a，即C1H＝a，所以C1F1＝eq\f(1,3)a，GF1＝eq\r(D1Ceq\o\al(2,1)＋C1Feq\o\al(2,1)＋GDeq\o\al(2,1))＝eq\r(a2＋a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(19),3)a.答案：A11．直线x＋y＝k(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，那么k的取值范围是()A．[eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(eq\r(3)，＋∞)C．[eq\r(2)，＋∞)D．[eq\r(3)，2eq\r(2)]解析：设线段AB的中点为C，那么OC垂直平分线段AB.由向量的平行四边形法那么，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OC,\s\up6(→))|，所以2|eq\o(OC,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|.又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(4－|OC|2)，得|eq\o(OC,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)eq\r(4－|OC|2)，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|≥1，那么eq\f(k,\r(12＋12))≥1，k≥eq\r(2)，由直线与圆x2＋y2＝4有两个不同交点，得k＜2eq\r(2).所以eq\r(2)≤k＜2eq\r(2).答案：A12．函数f(x)＝aln(x＋1)－x2，在区间(0，1)内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式eq\f(f〔p＋1〕－f〔q＋1〕,p－q)＞1恒成立，那么实数a的取值范围为()A．[15，＋∞) B．(－∞，15]C．(12，30] D．(－12，15]解析：由得，eq\f(f〔p＋1〕－f〔q＋1〕,〔p＋1〕－〔q＋1〕)＞1，且p＋1，q＋1∈(1，2)，等价于函数f(x)＝aln(x＋1)－x2在区间(1，2)上任意两点连线的斜率大于1，等价于函数在区间(1，2)上的切线斜率大于1恒成立．f′(x)＝eq\f(a,x＋1)－2x，即eq\f(a,x＋1)－2x＞1在x∈(1，2)上恒成立，变形为a＞2x2＋3x＋1在x∈(1，2)上恒成立，因为当x∈(1，2)时，2x2＋3x＋1＜15，所以a≥15.答案：A二、填空题(本大题共2个小题，每题5分，共10分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．(2023·山东卷)(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，那么n＝________．解析：Ceq\o\al(2,n)(3x)2＝54x2，所以eq\f(n〔n－1〕,2)＝6，解得n＝4.答案：414．假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,x－2y＋2≥0，))那么z＝eq\f(y,x－3)的最小值是________．解析：由约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,x－2y＋2≥0))作出可行域如图，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－y＝0，))解得A(2，2)，z＝eq\f(y,x－3)的几何意义为可行域内的点与定点P(3，0)连线的斜率．因为kPA＝eq\f(2－0,2－3)＝－2，所以z＝eq\f(y,x－3)的最小值等于－2.答案：－2三、解答题(本大题共2个小题，每题15分，共30分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)15．如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|＝|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，求|EG|的最小值．(导学号54850151)解：设直线AB的方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝4m，y1y2＝－4所以|EG|＝eq\f(1,2)y2－2y1＝eq\f(1,2)y2＋eq\f(8,y2)≥4，当且仅当y2＝4时取等号，即|EG|的最小值为4.16．△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2＋c2＋bc－a2＝0，求eq\f(asin〔30°－C〕,b－c)的值．解：由b2＋c2＋bc－a2＝0，得b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，知A＝120°，因此B＋C＝60°，B＝60°－C.那么eq\f(asin〔30°－C〕,b－c)＝eq\f(sinAsin〔30°－C〕,sinB－sinC)＝eq\f(\