2023年高考数学二轮复习专题3三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课后强化训练

专题三第二讲三角恒等变换与解三角形A组1．(2023·河北三市联考)假设2sin(θ＋eq\f(π,3))＝3sin(π－θ)，那么tanθ等于(B)A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(2\r(3),3) D．2eq\r(3)[解析]此题主要考查三角恒等变换．由得sinθ＋eq\r(3)cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\f(\r(3),2)，应选B．2．(文)如果sinα＝eq\f(4,5)，那么sin(α＋eq\f(π,4))－eq\f(\r(2),2)cosα等于(A)A．eq\f(2\r(2),5) B．－eq\f(2\r(2),5)C．eq\f(4\r(2),5) D．－eq\f(4\r(2),5)[解析]sin(α＋eq\f(π,4))－eq\f(\r(2),2)cosα＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)－eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2\r(2),5)．(理)α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，那么tan2α＝(C)A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)[解析]此题考查三角函数同角间的根本关系．将sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)两边平方可得，sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(5,2)，∴4sinαcosα＋3cos2α＝eq\f(3,2)，∴eq\f(4sinαcosα＋3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(3,2)．将左边分子分母同除以cos2α得，eq\f(3＋4tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,2)，解得tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4)．3．假设三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2CA．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形[解析]∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，那么tan(α＋β)的值为(A)A．－3 B．－1C．1 D．3[解析]此题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式．由tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(3,1－2)＝－3.应选A．[点评]运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，那么c＝(B)A．2eq\r(3) B．2C．eq\r(2) D．1[解析]由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∵B＝2A，a＝1，b＝eq\r(3)，∴eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),2sinAcosA)．∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)．又0<A<π，∴A＝eq\f(π,6)，∴B＝2A＝eq\f(π,3)．∴C＝π－A－B＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2．6．(2023·四川卷)cos2eq\f(π,8)－sin2eq\f(π,8)＝__eq\f(\r(2),2)__.[解析]由二倍角公式，得cos2eq\f(π,8)－sin2eq\f(π,8)＝cos(2×eq\f(π,8))＝eq\f(\r(2),2)．7．△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么△ABC的面积为__15eq\r(3)__.[解析]设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，那么a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)×6×10×sin120°＝15eq\r(3)．8．(文)(2023·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac.(1)求∠B的大小；(2)求eq\r(2)cosA＋cosC的最大值．[解析](1)由余弦定理及题设得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2)ac,2ac)＝eq\f(\r(2),2)．又0<∠B<π，所以∠B＝eq\f(π,4)．(2)由(1)知∠A＋∠C＝eq\f(3π,4)，那么eq\r(2)cosA＋cosC＝eq\r(2)cosA＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))＝eq\r(2)cosA－eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,4)))．因为0<∠A<eq\f(3π,4)，所以当∠A＝eq\f(π,4)时，eq\r(2)cosA＋cosC取得最大值1．(理)(2023·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC(acosB＋bcosA)＝c，(1)求C；(2)假设c＝eq\r(7)，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．[解析](1)由及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC可得cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3)．(2)由，eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2)．又C＝eq\f(π,3)，所以ab＝6．由及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．所以△ABC的周长为5＋eq\r(7)．9．(文)(2023·天津卷，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.asinA＝4bsinB，ac＝eq\r(5)(a2－b2－c2).(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值．[解析](1)由asinA＝4bsinB及eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得a＝2b．由ac＝eq\r(5)(a2－b2－c2)及余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\f(\r(5),5)ac,ac)＝－eq\f(\r(5),5)．(2)由(1)，可得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，代入asinA＝4bsinB中，得sinB＝eq\f(asinA,4b)＝eq\f(\r(5),5)．由(1)知，A为钝角，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(2\r(5),5)．于是sin2B＝2sinBcosB＝eq\f(4,5)，cos2B＝1－2sin2B＝eq\f(3,5)，故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝eq\f(4,5)×(－eq\f(\r(5),5))－eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝－eq\f(2\r(5),5)．(理)(2023·天津卷，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.a>b，a＝5，c＝6，sinB＝eq\f(3,5).(1)求b和sinA的值；(2)求sin(2A＋eq\f(π,4))的值．[解析](1)在△ABC中，因为a>b，所以由sinB＝eq\f(3,5)，得cosB＝eq\f(4,5)．由及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝eq\r(13)．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝aeq\f(sinB,b)＝eq\f(3\r(13),13)．所以b的值为eq\r(13)，sinA的值为eq\f(3\r(13),13)．(2)由(1)及a<c，得cosA＝eq\f(2\r(13),13)，所以sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(12,13)，cos2A＝1－2sin2A＝－eq\f(5,13)．所以sin(2A＋eq\f(π,4))＝sin2Acoseq\f(π,4)＋cos2Asineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),26)．B组1．(2023·唐山市一模)假设sin(eq\f(π,6)－α)＝eq\f(1,3)，那么cos(eq\f(2π,3)＋2α)＝(A)A．－eq\f(7,9) B．eq\f(7,9)C．－eq\f(2,9) D．eq\f(2,9)[解析]∵cos(eq\f(2π,3)＋2α)＝－cos(eq\f(π,3)－2α)＝－[1－2sin2(eq\f(π,6)－α)]＝－(1－eq\f(2,9))＝－eq\f(7,9)．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，那么角B的值为(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[解析]由(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac得，eq\f(a2＋c2－b2,ac)·tanB＝eq\r(3)，再由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)得，2cosB·tanB＝eq\r(3)，即sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴角B的值为eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，故应选D．3．(2023·西安第一次质检)sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝(B)A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)[解析]此题主要考查三角函数的和差公式．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝eq\f(1,2)．4．钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，那么AC＝(B)A．5 B．eq\r(5)C．2 D．1[解析]∵S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)．当B＝eq\f(3π,4)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝eq\r(5)，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝eq\f(π,4)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝eq\r(5)．5．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，那么(C)A．3α－β＝eq\f(π,2) B．3α＋β＝eq\f(π,2)C．2α－β＝eq\f(π,2) D．2α＋β＝eq\f(π,2)[解析]因为tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，去分母得sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin(α－β)＝cosα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))．又因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，0<eq\f(π,2)－α<eq\f(π,2)，所以α－β＝eq\f(π,2)－α故2α－β＝eq\f(π,2)．6．(2023·合肥三模)tanα＝2，那么sin2(eq\f(π,2)＋α)－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝__eq\f(3,5)__.[解析]∵tanα＝2，∴sin2(eq\f(π,2)＋α)－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα,tan2α＋1)＝eq\f(1＋2,4＋1)＝eq\f(3,5).7．(文)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，那么△ABC的面积等于__2eq\r(3)__.[解析]此题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝eq\f(4,sinB)，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3)．(理)在△ABC中，sin2C＝eq\r(3)sinAsinB＋sin2B，a＝2eq\r(3)b，那么角C＝__eq\f(π,6)__.[解析]由正弦定理知c2＝eq\r(3)ab＋b2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2－\r(3)ab,2ab)＝eq\f(a－\r(3)b,2b)＝eq\f(2\r(3)b－\r(3)b,2b)＝eq\f(\r(3),2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6)．8．向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA，\f(1,2)))与n＝(3，sinA＋eq\r(3)cosA)共线，其中A是△ABC的内角.(1)求角A的大小；(2)假设BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．[解析](1)因为m∥n，所以sinA·(sinA＋eq\r(3)cosA)－eq\f(3,2)＝0．所以eq\f(1－cos2A,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(3,2)＝0，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝1．因为A∈(0，π)，所以2A－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(11π,6)))．故2A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，A＝eq\f(π,3)．(2)设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，那么由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc．而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA