2023年高考数学二轮复习专题19排列、组合、二项式定理教学案理

专题19排列、组合、二项式定理1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为根本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比拟简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.1．两个重要公式(1)排列数公式A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)组合数公式C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．2．三个重要性质和定理(1)组合数性质①C＝(n，m∈N*，且m≤n)；②C＝(n，m∈N*，且m≤n)；③C＝1.(2)二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通项Tr＋1＝Can－rbr.(3)二项式系数的性质①C＝C，C＝C，…，C＝C；②C＋C＋C＋…＋C＝2n；③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.考点一排列与组合例1．【2023课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【变式探究】【2023年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为〔A〕24〔B〕48〔C〕60〔D〕72【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，那么个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，应选D.【变式探究】(2023·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个 B．120个 C．96个 D．72个解析由题意，首位数字只能是4，5，假设万位是5，那么有3×A＝72个；假设万位是4，那么有2×A个＝48个，故40000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.答案B考点二排列组合中的创新问题例2．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出假设干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1〞表示一个球都不取、“a〞表示取出一个红球、而“ab〞那么表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，那么有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，那么有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，应选A.答案A【变式探究】设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A．60 B．90 C．120 D．130答案D考点三二项展开式中项的系数例3．【2023年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.〔用数字作答〕【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。【变式探究】(2023·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60解析Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.答案C考点四二项展开式中的常数项例4．【2023年高考四川理数】设i为虚数单位，那么的展开式中含x4的项为〔A〕－15x4〔B〕15x4〔C〕－20ix4〔D〕20ix4【答案】A【解析】二项式展开的通项，令，得，那么展开式中含的项为，应选A.【变式探究】(2023·湖南，6)的展开式中含x的项的系数为30，那么a＝()A. B．－ C．6 D．－6解析的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，那么r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，应选D.答案D考点五二项式定理的综合应用例5．【2023课标1，理6】展开式中的系数为A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C 【变式探究】【2023高考山东理数】假设〔ax2+〕5的展开式中x5的系数是—80，那么实数a=_______.【答案】－2【解析】因为，所以由，因此【变式探究】(2023·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，那么n＝()A．4 B．5 C．6 D．7解析由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.答案C1.【2023课标1，理6】展开式中的系数为A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C 【解析】因为，那么展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.2.【2023课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D3.【2023天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.〔用数字作答〕【答案】1080【解析】4.【2023山东，理11】的展开式中含有项的系数是，那么.【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．1.【2023高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为〔〕〔A〕24〔B〕18〔C〕12〔D〕9【答案】B【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，应选B.2.【2023年高考四川理数】设i为虚数单位，那么的展开式中含x4的项为〔A〕－15x4〔B〕15x4〔C〕－20ix4〔D〕20ix4【答案】A【解析】二项式展开的通项，令，得，那么展开式中含的项为，应选A.3.【2023年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为〔A〕24〔B〕48〔C〕60〔D〕72【答案】D4.【2023高考新课标3理数】定义“标准01数列〞如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.假设，那么不同的“标准01数列〞共有〔〕〔A〕18个〔B〕16个〔C〕14个〔D〕12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，那么具体的排法列表如下：000011111011101101001110110100110100011101101001105.【2023年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.〔用数字作答〕【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。6.【2023高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是.〔用数字填写答案〕【答案】107.【2023高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】－56【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56．8.【2023高考山东理数】假设〔ax2+〕5的展开式中x5的系数是—80，那么实数a=_______.【答案】－2【解析】因为，所以由，因此9.【2023高考江苏卷】〔本小题总分值10分〕〔1〕求的值；〔2〕设m，nN*，n≥m，求证：〔m+1〕+〔m+2〕+〔m+3〕+…+n+〔n+1〕=〔m+1〕.【答案】〔1〕0〔2〕详见解析1．(2023·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答)．解析依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1560条毕业留言．答案15602．(2023·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答)．解析展开式通项为：Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.答案403．(2023·天津，12)在的展开式中，x2的系数为________．解析的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C＝.答案1.【2023高考广东卷理第8题】设集合，那么集合中满足条件“〞的元素个数为〔〕A.B.C.D.【答案】D【考点定位】计数原理2.【2023高考湖北卷理第2题】假设二项式的展开式中的系数是84，那么实数〔〕A.2B.C.1D.【答案】C【解析】因为，令，得，所以，解得，应选C.【考点定位】二项式定理的通项公式3.【2023高考湖南卷第4题】的展开式中的系数是〔〕B.C.5D.20【答案】A【解析】根据二项式定理可得第项展开式为,那么时,,所以的系数为,应选A.【考点定位】二项式定理4.【2023大纲高考理第5题】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，那么不同的选法共有〔〕A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C．【解析】由可得不同的选法共有，应选C．【考点定位】排列组合．5.【2023大纲高考理第13题】的展开式中的系数为.【答案】70.【解析】设的展开式中含的项为第项，那么由通项知．令，解得，∴的展开式中的系数为．【考点定位】二项式定理．6.【2023高考北京卷理第13题】把5件不同产品摆成一排，假设产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，那么不同的摆法有种.【答案】36【考点定位】排列组合7.【2023高考安徽卷理第13题】设是大于1的自然数，的展开式为.假设点的位置如下图，那么.【答案】3【解析】由图易知，那么，即，解得.【考点定位】1.二项展开式的应用.8.【2023辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为〔〕A．144B．120C．72D．【答案】C【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由4=24，应选D.【考点定位】排列组合.9.【2023全国1高考理第13题】的展开式中的系数为________.〔用数字填写答案〕【答案】-20【考点定位】二项式定理．10.【2023全国2高考理第13题】的展开式中，的系数为15，那么a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点定位】二项式定理11.【2023山东高考理第14题】假设的展开式中项的系数为20，那么的最小值.【答案】2【考点定位】二项式定理12.【2023四川高考理第2题】在的展开式中，含项的系数为〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以含项的系数为15.选C【考点定位】二项式定理.13.【2023四川高考理第6题】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有〔〕A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】最左端排甲，有种排法；最左端排乙，有种排法，共有种排法.选B.【考点定位】排列组合.14.【2023浙江高考理第5题】在的展开式中，记项的系数为，那么〔〕A.45B.60C.120D.210【答案】C【解析】由题意可得，应选C【考点定位】二项式系数.15.【2023浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种〔用数字作答〕【答案】60【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有，二是有三人各获得一张，共有，因此不同的获奖情况有60种。【考点定位】排列组合.16.【2023重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，那么同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【答案】B【考点定位】分类加法计数原理17.〔2023·新课标I理〕9、设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，假设13a=7b，那么A、5 B、6 C、7 D、【答案】B；【解析】，，因为，解得m=6.【考点定位】此题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的根本运算能力.18.〔2023·新课标Ⅱ理〕〔5〕〔1+x〕(1+x)5的展开式中x2的系数为5，那么=〔A〕-4 〔B〕-3 〔C〕-2 〔D〕-1【答案】D【解析】由题意知：，解得，应选D.【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练根底知识是解答好本类题目的关键.19.〔2023·浙江理〕14、将六个字母排成一排，且均在的同侧，那么不同的排法共有________种〔用数字作答〕【答案】【考点定位】此题考查排列组合知识点和排列数的计算公式，此题采用特殊元素首先考虑的方法解决，注意相邻问题的捆绑法、不相邻问题的插空法等常见方法的应用；20.〔2023·浙江理〕11、设二项式的展开式中常数项为，那么________。【答案】-10【解析】此题利用公式进行化简后，让的指数为零，即可求出，然后利用组合数的公式即可求出答案；此题注意对的指数的合并；即由，由得到：，所以，所以填-10；【考点定位】此题二项式定理的通项即和组合数的运算公式；21.〔2023·天津理〕10.的二项展开式中的常数项为.【答案】15【解析】由二项展开式可得，=，令解得：，所以二项展开式中的常数项为=15.【考点定位】本小题主要考查二项展开式，求二项展开式中特定项是二项展开式中重点内容之一，要熟练掌握.22.〔2023·上海理〕5．设常数，假设的二项展开式中