2023年高考数学模拟试卷分项（第02期）专题06数列、不等式

专题数列、不等式一、选择题1．【2023湖南株洲两校联考】等差数列{an}中，a3，a7是函数f〔x〕=x2﹣4x+3的两个零点，那么{an}的前9项和等于〔〕A.﹣18B.9C.18D.36【答案】C2．【2023陕西西安五中联考】等差数列的公差，且成等比数列，假设，为数列的前项和，那么的最小值为〔〕A.3B.4C.D.【答案】B【解析】成等比数列，解得d=2．当且仅当时即时取等号，且取到最小值4，应选：A．【点睛】此题考查了等差数列的通项公式、前项和公式，等比中项的性质，根本不等式求最值的知识，解题的关键是利用别离常数法化简式子，凑出积为定值．3．【2023东北名校联考】中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还.〞其意思为：“有一个人走了里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的的路程且前一天的一半，走了天后到达目的地，请问题第六天走了〞〔〕A.里B.里C.里D.里【答案】D【解析】由题知每天所走路程形成以为首项，公比为的等比数列，且前六项的和为，那么，解得，那么，即第六天走了里．故此题答案选．4．【2023河北邢台联考】表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，那么；21的因数有1,3,7,21，那么，那么的值为〔〕A.2488B.2495C.2498D.【答案】D选D5．【2023河北衡水武邑调研】己知数列与的前项和分别为、，，且，假设恒成立，那么的最小值是〔〕A.B.C.D.【答案】B，要使恒成立，只需，即的最小值是，应选B.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，一些有关三角函数、等比数列的求和题型，也可以利用裂项相消法求解.6．【2023河北衡水武邑中学三调】数列与的前项和分别为，且,,,假设恒成立，那么的最小值是()A.B.C.49D.【答案】B【解析】，，两式子做差得到，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到，故，故裂项求和得到，由条件恒成立，得到K的最小值为．故答案选B．点睛：此题考查到了通项公式的求法，从而得到数列是等差数列，再求出，根据裂项求和的方法可以求出前n项和。7．【2023南宁摸底联考】等差数列中，，那么的前9项和等于〔〕A.B.27C.18D.【答案】B【解析】由题意可得,选B.8．【2023云南昆明一中摸底】数列的前项和为，且，，那么数列中的为〔〕A.B.C.D.【答案】B应选B.【方法点晴】此题主要考查等差数列的定义以及数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法，数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，假设满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否那么适当变形构造等比或等数列求通项公式.在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.，进而得出的通项公式.9．【2023河南林州一中调研】设等差数列的前项和为，且满足，，那么，，…，中最大的项为〔〕A.B.C.D.【答案】C考点：等差数列的性质.10．【2023河南林州一中调研】数列中，对任意正整数，有，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】当时，，当时，，所以，那么，，选B.11．【2023河南名校联考】公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为，那么由得，，即，解得或〔舍去〕，又由得，所以，，应选D.12．【2023河北衡水中学二调】设正项等比数列的前项和为，且，假设，，那么〔〕A.63或120B.256C.120D.【答案】C13．【2023广西贺州桂梧联考】设，满足约束条件那么的取值范围为〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】直线与的交点为，作出不等式组表示的可行域，由图可知，的取值范围为.选B。14．【2023湖南株洲两校联考】在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，那么点M恰好落在第二象限的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】不等式组所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为点恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为点恰好落在第二象限的概率为故答案选15．【2023河北衡水武邑中学三调】点为不等式组所表示的平面区域上的动点，那么最小值为〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】16．【2023河南天一联考】实数满足假设的最大值为10，那么〔〕A.1B.2C.3D.【答案】B【解析】作可行域，那么直线过点(3,4)时取最大值，由得，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比拟，防止出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题17．【2023河南漯河中学三模】是定义在上的偶函数，令，假设是的等差中项，那么__________．【答案】4034故答案为4034．18．【2023北京大兴联考】数列满足，，表示不超过的最大整数〔如〕，记，数列的前项和为.①假设数列是公差为的等差数列，那么=_____；②假设数列是公比为的等比数列，那么=_____．【答案】6【解析】①假设数列是公差为的等差数列，且，，那么，所以，那么；故填6.②假设数列是公比为的等比数列，且，，那么，那么，；故填.【点睛】此题考查等差数列、等比数列、二项式定理和新定义型数列的求解；此题的难点是第二问如何确定数列的通项公式，采用了二项式展开式，利用二项式的性质进行求解，难度较大.19．【2023东北名校联考】数列满足，那么数列满足对任意的，都有，那么数列的前项和__________．【答案】点睛：利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的根本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，此题考查错位相减法求和..此类题目是数列问题中的常见题型.此题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答此题，布列方程组，确定通项公式是根底，准确计算求和是关键，易错点是在“错位〞之后求和时，弄错等比数列的项数.20．【2023南宁摸底联考】在等比数列中，，，那么__________.【答案】1【解析】由题意可得，又，所以，即数列为常数列，所以，填1.21．【2023河南名校联考】设等差数列的前项和，假设且，那么__________．【答案】22．【2023河南中原名校联考】设，实数，满足假设，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意得可行域所围成的三角形必在两平行线和之间，由图可知，实数的取值范围是，填.三、解答题23．【2023广西贺州桂梧联考】是数列的前项和，，.〔1〕证明：当时，；〔2〕假设等比数列的前两项分别为，，求的前项和.【答案】〔1〕详见解析〔2〕试题解析：〔1〕证明：当时，，∴.〔2〕解：由〔1〕知，，∴的公比，且，∴.24．【2023陕西西安五中二模】数列的前项和为，且，.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕利用得到，整理的为等比数列，求出通项公式；〔2〕，利用错位相减法求和。试题解析：〔1〕∵①，②②-①得，即，∴数列是以为首项，为公比的等比数列∴〔2〕由，∴，∴③，左右两边乘于2得④，③-④得。∴点睛：求的题，利用公式求通项公式；求和问题涉及到常用的求和方法，此题中考察错位相减法的应用，学生要对错位相减法的解题套路要熟悉，正确计算，得到答案。25．【2023河南漯河中学三模】数列的前项和为，且对任意正整数都有.〔1〕求证：为等比数列；〔2〕假设，且，求数列的前项和.【答案】〔1〕见解析〔2〕试题解析：解：〔1〕证：当时，，因为，解得，，当时，，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.〔2〕由〔1〕知，时，，所以，所以.点睛：〔1〕公式在常规数列题型中的应用，解得递推关系；〔2〕通过整理，得到，那么求和为裂项相消求和，解得。在数列的常规题型中，公式求通项，裂项相消都是常见的考察方式。26．【2023江西宜春昌黎学校二模】数列{an}中，a1＝1，又数列(n∈N*)是公差为1的等差数列．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an；(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.【答案】(1)；(2).由,利用“裂项求和〞即可得出。解析：数列是首项为，公差为的等差数列．解得点睛：根据题目意思先求数列的通项公式，然后再求数列的通项公式，遇到通项形如时，运用裂项求和法，求得数列前项和。27．【2023河北衡水武邑中学三调】等比数列的前项和为，且成等差数列．〔1〕求的值及数列的通项公式；〔2〕假设求数列的前项和．【答案】(1)的通项公式为；(2).〔1〕∵成等差数列，∴，当时，,当时，，∵是等比数列，∴,那么，得,∴数列的通项公式为〔2〕由〔1〕得，那么，①，②①-②得,．∴．点睛：此题考查数列的通项公式的求法，前n项和与通项的关系式，求通项；考查数列的前n项和的求法，错位相减法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用，准确计算．28．【2023河南林州一中调研】数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和，假设Tn≥m恒成立，求m的最大值．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．〔Ⅱ〕因为恒成立，所以只需即可，由〔Ⅰ〕知，又，所以，利用错位相减法即可求得数列的前项和，通过的正负确定的单调性，进而求得的最小值，即可求得的最大值．试题解析：〔Ⅰ〕因为，，成等差数列，所以，所以，所以，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列的通项公式；，所以故所以所以所以所以是递增数列所以所以所以的最大值为考点：1．数列的通项公式；2．数列的求和；3．数列的最值．【方法点睛】数值最值的求解方法如下：1．邻项比拟法，求数列的最大值，可通过解不等式组求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．29．【2023河南林州一中调研】数列中，，，记为的前项的和，，．〔1〕判断数列是否为等比数列，并求出；〔2〕求.【答案】〔1〕是公比为的等比数列，；〔2〕.试题解析：〔Ⅰ〕，，，即，所以是公比为的等比数列．，，〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，所以是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列……10分考点：1．等比数列的定义与性质；2．数列求和．【名师点睛】此题主要考查等比数列的定义与性质以及等比数列求和与分组求和，属中档题；等比数列根本量运算问题常见类型及解题策略有：1．化根本量求通项；2．化根本量求特定项；3．化根本量求公比；4．化根本量求和．30．【2023河南林州一中调研】设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和,，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)假设，求和:.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的通项公式等知识求解；(2)依据题设运用列项相消求和法探求.．……………5分〔2〕由〔1〕得，由于，，，，．……7分………10分考点：等比数列的通项公式及前项和公式列项相消求和法等有关知识和方法的综合运用．31．【2023江西南昌摸底】数列的前项和，记.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求数列的前项和.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕利用，同时验证时也满足，可得通项公式；〔2〕利用分组求和及等比数列前项和公式可求得结果.点睛：解题中，在利用的同时一定要注意和两种情况，否那么容易出错；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法