2023年高考数学二轮复习专题09等差数列、等比数列教学案理

专题09等差数列、等比数列高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的根本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的根本运算，强化性质的应用意识．1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)；(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(3)前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2)；(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；②假设m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，那么am＋an＝ap＋aq.2．等比数列(1)定义式：eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)；(2)通项公式：an＝a1qn－1；(3)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)q≠1.))(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；②假设m＋n＝p＋q，那么aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要无视n为整数的条件和an＝0的情形．4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.考点一、等差数列、等比数列的根本运算例1、【2023课标1，理4】记为等差数列的前项和．假设，，那么的公差为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】因为，即，那么，即，解得，应选C.【变式探究】(1)在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，假设a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，那么公比q等于()A．－3B．－1C．1D．3(2){an}是等差数列，Sn是其前n项和．假设a1＋aeq\o\al(2,2)＝－3，S5＝10，那么a9的值是________．答案：(1)D(2)20【变式探究】(1){an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，假设S8＝4S4，那么a10＝()A.eq\f(17,2)B.eq\f(19,2)C．10D．12(2)假设等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为eq\f(81,4)，那么前4项倒数的和为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C．1D．2解析：(1)由S8＝4S4，公差d＝1，得8a1＋eq\f(8×7,2)×1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)×1))，解得a1＝eq\f(1,2)，∴a10＝a1＋9d＝eq\f(19,2).(2)由题意得S4＝eq\f(a1〔1－q4〕,1－q)＝9，∴eq\f(1－q4,1－q)＝eq\f(9,a1).由a1·a1q·a1q2·a1q3＝(aeq\o\al(2,1)q3)2＝eq\f(81,4)，得aeq\o\al(2,1)q3＝eq\f(9,2).由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为eq\f(\f(1,a1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,q4))),1－\f(1,q))＝eq\f(q4－1,a1q3〔q－1〕)＝eq\f(1,a1q3)·eq\f(9,a1)＝eq\f(9,aeq\o\al(2,1)q3)＝2.答案：(1)B(2)D考点二、等差数列、等比数列的判断与证明例2、(2023·全国Ⅲ卷)数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)假设S5＝eq\f(31,32)，求λ.【变式探究】数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝eq\f(1,2).(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，考点三、等差数列、等比数列的综合应用例3、【2023课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为哪一项20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，是A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：那么该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的局部和，设，所以，那么，此时，所以对应满足条件的最小整数，应选A.【变式探究】(2023·全国Ⅰ卷){an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝eq\f(1,3)，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．【变式探究】数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式．(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,an)))的前n项和最大？解：(1)取n＝1，得λaeq\o\al(2,1)＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.假设a1＝0，那么Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，∴an＝0(n≥1)．假设a1≠0，那么a1＝eq\f(2,λ).当n≥2时，2an＝eq\f(2,λ)＋Sn，2an－1＝eq\f(2,λ)＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，∴an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，∴an＝a1·2n－1＝eq\f(2,λ)·2n－1＝eq\f(2n,λ).综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝eq\f(2n,λ).1.【2023课标1，理4】记为等差数列的前项和．假设，，那么的公差为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】因为，即，那么，即，解得，应选C.2.【2023课标II，理3】我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层共有灯〔〕A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯盏，那么各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，应选B．3.【2023课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项为哪一项20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，是A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A要使，有，此时，所以是第组等比数列的局部和，设，所以，那么，此时，所以对应满足条件的最小整数，应选A.1.【2023高考新课标1卷】等差数列前9项的和为27,,那么〔〕〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97【答案】C【解析】由,所以应选C.2【2023高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，〔〕.假设〔〕A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列【答案】A3.【2023年高考北京理数】为等差数列，为其前项和，假设，，那么_______..【答案】6【解析】∵是等差数列，∴，，，，∴，故填：6．4.【2023高考江苏卷】是等差数列，是其前项和.假设，那么的值是▲.【答案】【解析】由得，因此5、【2023高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,那么a1a2…an的最大值为．【答案】646.【2023高考江苏卷】〔本小题总分值16分〕记.对数列和的子集T，假设,定义;假设，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕对任意正整数，假设，求证：；〔3〕设,求证：.【答案】〔1〕〔2〕详见解析〔3〕详见解析【解析】〔1〕由得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.〔2〕因为，，所以.因此，.〔3〕下面分三种情况证明.①假设是的子集，那么.②假设是的子集，那么.③假设不是的子集，且不是的子集.令，那么，，.于是，，进而由，得.1.【2023高考重庆，理2】在等差数列中，假设=4，=2，那么=〔〕A、-1B、0C、1D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B.2.【2023高考福建，理8】假设是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么的值等于〔〕A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】由韦达定理得，，那么，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．3.【2023高考北京，理6】设是等差数列.以下结论中正确的选项是〔〕A．假设，那么B．假设，那么C．假设，那么D．假设，那么【答案】C【2023高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，那么________．【答案】【解析】由得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，那么，所以．【2023高考广东，理10】在等差数列中，假设，那么=.【答案】10．【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．【2023高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2023，那么该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为，那么，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5．【2023高考浙江，理3】是等差数列，公差不为零，前项和是，假设，，成等比数列，那么〔〕B.C.D.【答案】B.【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，应选B.【2023高考安徽，理14】数列是递增的等比数列，，那么数列的前项和等于.【答案】1.【2023高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列，那么“〞是“为递增数列〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对等比数列，假设，那么当时数列是递减数列；假设数列是递增数列，那么满足且，故当“〞是〞数列为递增数列的既不充分也不必要条件.应选C.【考点定位】等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定2.【2023高考福建卷第3题】等差数列的前项和，假设，那么()【答案】C【解析】假设公差为,依题意可得.所以.应选C.【考点定位】等差数列的性质.3.【2023高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列中，假设，，那么的值是.【答案】4【解析】设公比为，因为，那么由得，，解得，所以．【考点定位】等比数列的通项公式．4.【2023辽宁高考理第8题】设等差数列的公差为d，假设数列为递减数列，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C【考点定位】等差数列的概念、递减数列.5.【2023重庆高考理第2题】对任意等比数列,以下说法一定正确的选项是()成等比数列成等比数列成等比数列成等比数列【答案】D【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，那么所以，一定成等比数列，应选D.【考点定位】等比数列的概念与通项公式、等比中项.6.【2023天津高考理第11题】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．假设成等比数列，那么的值为__________．【答案】．【解析】依题意得，∴，解得．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式．7.【2023大纲高考理第10题】等比数列中，，那么数列的前8项和等于〔〕A．6B．5C．4D．3【答案】C．【考点定位】等差数列、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式．8.【2023高考广东卷理第13题】假设等比数列的各项均为正数，且，那么.【答案】50【解析】由题意知，所以，因此，因此.【考点定位】等比数列的根本性质与对数的根本运算9.【2023高考安徽卷理第12题】数列是等差数列，假设构成公比为的等比数列，那么________.【答案】1【考点定位】等差、等比数列的性质.10.【2023高考北京版理第12题】假设等差数列满足，那么当时，的前项和最大.【答案】8【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以