2023年高考数学模拟试卷分项（第02期）专题09概率与统计

专题概率与统计一、选择题1．【2023黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接，，那么向多边形中投掷一点，该点落在阴影局部内的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】A2．【2023河南漯河中学三模】在不等式组表示的平面区域内任取一个点，那么的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】所以概率为，应选C。3．【湖南株洲两校联考】在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点M，那么点M恰好落在第二象限的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】不等式组所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为点恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为点恰好落在第二象限的概率为故答案选4．【2023东北名校联考】据统计2023年“十一〞黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布，那么在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为〔〕附；假设，A.B.C.D.【答案】D点睛：关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法．要充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为．且曲线是单峰的，它关于直线对称，从而关于对称的区间上概率相等．有，．5．【2023江西宜春二模】某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，那么在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为〔〕A.28、27、26B.28、26、24C.26、27、28D.27、26、25【答案】A【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为那么在高一年级抽取的人数是人高二年级抽取的人数是人高三年级抽取的人数是人故答案选6．【2023江西宜春中学二模】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.假设硬币正面朝上,那么这个人站起来;假设硬币正面朝下,那么这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为A.B.C.D.【答案】C7．【2023山西山大附中四调】在如下图的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部〔曲线为正态分布的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔〕〔附：假设，那么，.〕A.906B.2718C.1359D.【答案】C【解析】由于曲线为正态分布的密度曲线，，，在如下图的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部的点的个数的估计值为个点，选C.8．【2023黑龙江大庆四校联考】的取值如下表所示：假设与线性相关，且，那么〔〕A.2.2B.2.9C.2.8【答案】D9．【2023河南名校联考】随机变量，且，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由正态分布的对称性知，，应选B.10．【2023河南名校联考】现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，那么该几何体是旋转体的概率为〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，根据古典概型，从中任取一个几何体，那么该几何体是旋转体的概率.11．【2023贵州黔东南州联考】近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有2500人，年龄在岁的有1200人，那么的值为〔〕A.0.013B.0.13C.0.012D.0.12【答案】C12．【2023广东德庆香山中学一模】某个部件由三个元件按以下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，那么部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命〔单位：小时〕均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，设A={超过1000小时时,元件1、元件2至少有一个正常},B={超过1000小时时,元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}那么P(A)=1−(1−P)2,P(B)=，∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A.B同时发生的事件∴P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=.此题选择D选项.13．【2023河南漯河中学一模】如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为〔图中阴影局部〕，随机往圆内投一个点，那么点落在区域内的概率是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】略二、解答题14．【2023四川德阳三校联考】为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原那么上以住宅为单位〔一套住宅为一户〕.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围〔度〕〔0,210]〔210,400]某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量〔度〕538690124132200215225300410假设规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的局部每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的局部每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，假设抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.【答案】〔1〕分布列见解析，〔2〕【解析】试题分析：〔1〕10户共有3户为第二阶梯电量用户，所以可取0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；〔2〕由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到K户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.试题解析：故的分布列是0123所以可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知,解得，所以当时，概率最大，所以15．【2023齐齐哈尔八中三模】某教师调查了名高三学生购置的数学课外辅导书的数量，将统计数据制成如下图的条形图.〔1〕假设该教师从这名学生中任取人，记这人所购置的数学课外辅导书的数量之和为，求的概率；〔2〕从这名学生中任取人，记表示这人所购置的数学课外辅导书的数量之差的绝对值.求的分布列和数学期望.【答案】〔1〕；〔2〕试题解析：〔1〕依题意，的情况包括和，所以的概率为〔2〕的可能取值为，，，那么，，.故的分布列为：故.16．【2023福建四校联考】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水〞活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量x〔单位：箱〕76656收益y〔单位：元〕165142148125150(Ⅰ)假设x与y成线性相关，那么某天售出8箱水时，预计收益为多少元？(Ⅱ)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.⑴在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；⑵甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望。附：，。【答案】〔Ⅰ〕186元；〔Ⅱ〕〔1〕；〔2〕分布列见解析，期望为600.试题解析：，，…当时，即某天售出8箱水的预计收益是186元。(Ⅱ)⑴设事件A为“学生甲获得奖学金〞，事件

B为“学生甲获得一等奖学金〞，那么即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为⑵X的取值可能为0，300，500，600，800，1000，，，，即的分布列为：〔元〕17．【2023广西贺州桂梧高中联考】为了检测某轮胎公司生产的轮胎的宽度，需要抽检一批轮胎〔共10个轮胎〕，这批轮胎宽度〔单位：〕的折线图如以下图所示：〔1〕求这批轮胎宽度的平均值；〔2〕现将这批轮胎送去质检部进行抽检，抽检方案是：从这批轮胎中任取5个作检验，这5个轮胎的宽度都在内，那么称这批轮胎合格，如果抽检不合格，就要重新再抽检一次，假设还是不合格，这批轮胎就认定不合格.求这批轮胎第一次抽检就合格的概率；记为这批轮胎的抽检次数，求的分布列及数学期望.【答案】〔1〕195〔mm〕(2)2试题解析：〔1〕这批轮胎宽度的平均值为.〔2〕这批轮胎宽度都在内的个数为6，故这批轮胎第一次抽检就合格的概率为.的可能取值为1,2，，.那么的分布列为：故.18．【2023黑龙江齐齐哈尔一模】2016年6月22日，“国际教育信息化大会〞在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会〞，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“〔1〕根据条件完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“中老年〞比“青少年〞更加关注“国际教育信息化大会〞；〔2〕现从抽取的青少年中采用分层抽样的方法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“国际教育信息化大会〞的人数为，求的分布列及数学期望.附:参考公式，其中.临界值表：【答案】〔1〕列联表见解析，有的把握认为“中老年〞比“青少年〞更加关注“国际教育信息化大会〞.〔2〕分布列见解析，试题解析：解：〔1〕依题意可知，抽取的“青少年〞共有人，“中老年〞共有人.完成的列联表如下：那么，因为,所以有的把握认为“中老年〞比“青少年〞更加关注“国际教育信息化大会〞.〔2〕根据题意知选出关注的人数为3，不关注的人数为6，在这9人中再选取3人进行面对面询问，的取值可以为0，1，2，3，那么，，，.所以的分布列为数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值〞，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率〞，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值〞，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19．【2023华大新高考联盟质检】某地区2023年至2023年粮食产量的局部数据如下表：〔1〕求该地区2023年至2023年的粮食年产量与年份之间的线性回归方程；〔2〕利用〔1〕中的回归方程，分析2023年至2023年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区2023年的粮食产量.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】〔1〕；〔2〕测该地区2023量为299.2万吨.试题解析：〔1〕由所给数据可以看出，粮食年产量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得，∴，.由上述计算结果，知所求线性回归方程为，即.点睛：求解回归方程问题的三个易误点：①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．20．【2023陕西西安联考】某单位N名员工参加“社区低碳你我他〞活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如下图，下表是年龄的频率分布表.〔1〕现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，那么年龄第组人数分别是多少？〔2〕在〔1〕的条件下，从这6中随机抽取2参加社区宣传交流活动，X表示第3组中抽取的人数，求X的分布列和期望值【答案】〔1〕年龄第1，2，3组人数分别是1人，1人，4人．〔2〕见解析试题解析：〔1〕由频率分布表和频率分布直方图知：第1组[25，30〕的频率为0.02×5=0.1，第2组[30，35〕的频率为0.02×5=0.1，第3组[35，40〕的频率为0.08×5=0.4，第1，2，3组的人数比为0.1：0.1：0.4=1：1：4，要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，那么年龄第1，2，3组人数分别是1人，1人，4人．〔2〕X可以取0，1，2，P〔X=0〕==，P〔X=1〕==，P〔X=2〕==，其分布列为：X012PE〔X〕=0×+1×+2×=．点睛：求随机变量的分布列和数学期望问题，先考虑随机变量的可取值，然后求出随机变量取每一个值时相应的概率，列出分布列，利用公式求出数学期望.21．【2023北京大兴联考】某大型超市拟对店庆当天购物满元的顾客进行回馈奖励．规定：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘〔如图〕，待转盘停止转动时，假设指针指向扇形区域，那么顾客可领取此区域对应面额〔单位：元〕的超市代金券．假设转盘每次转动的结果互不影响．〔Ⅰ〕假设，求顾客转动一次转盘获得元代金券的概率；〔Ⅱ〕某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；〔Ⅲ〕记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为，当取何值时，的方差最小？〔结论不要求证明〕【答案】(1);(2);(3).试题解析：〔Ⅰ〕设事件为“顾客转动一次转盘获得元代金券〞，由题意知.〔Ⅱ〕设事件为“顾客第一次获得代金券面额不低于第二次获得的代金券面额〞，设事件为“该顾客第转动转盘获得的超市代金券面额为〞，.由题意知，，.因此.〔Ⅲ〕.22．【2023湖南株洲两校联考】微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人〞，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人〞，己知“非微信达人〞与“微信达人〞人数比恰为3：2．〔1〕确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；〔2〕为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人〞和“非微信达人〞60人中用分层抽样的方法确定10人，假设需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人〞的人数为X，求X的分布列和数学期望．使用微信时间〔单位：小时〕频数频率〔0，0.5]30.05〔0.5，1]xp〔1，1.5]90.15〔1.5，2]150.25〔2，2.5]180.30〔2.5，3]yq合计601.00【答案】〔Ⅰ〕〔II〕分布列见解析；用分层抽样的方法，从中选取人，那么其中“微信达人〞有人，“非微信达人〞有人，的可能取值为0，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望。解析：根据题意，有解得，，补全频率分布图有以下图所示．〔2〕用分层抽样的方法，从中选取人，那么其中“网购达人〞有人，“非网购达人〞有人，的可能取值为，,,，……….11分的分布列为：ξ0123P23．【2023江西宜春六校联考】为响应国家“精准扶贫，产业扶贫〞的战略，某市面向全市征召?扶贫政策?义务宣传志愿者，从年龄在的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如下图．〔Ⅰ〕求图中的值；〔Ⅱ〕在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁〞的人数为，求的分布列及数学期望．【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕见解析.试题解析：〔Ⅰ〕根据频率分布直方图可得，解得.〔Ⅱ〕用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，那么其中年龄“低于35岁〞的人有6名，“年龄不低于35岁〞的人有4名，故的可能取值为0,1,2,3．，，，．故的分布列为0123．24．【2023东北名校联考】甲乙两家快递公司其“快递小哥〞的日工资方案如下：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的局部每单抽成元〔1〕设甲乙快递公司的“快递小哥〞一日工资〔单位：元〕与送货单数的函数关系式为，求；〔2〕假设同一公司的“快递小哥〞一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥〞，并记录其天的送货单数，得到如下条形图:假设将频率视为概率，答复以下问题：①记乙快递公司的“快递小哥〞日工资为〔单位：元〕，求的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥〞的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.【答案】〔1〕甲：，乙：〔2〕①见解析②推荐小赵去乙快递公式应聘.试题解析：〔1〕甲快递公式的“快递小哥〞一日工资〔单位：元〕与送单数的函数关系式为：乙快递公式的“快递小哥〞一日工资〔单位：元〕与送单数的函数关系式为：.〔2〕①记乙快递公司的“快递小哥〞日工资为〔单位：元〕，由条形图得的可能取值为，，所以的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥〞日平均送单数为：，所以乙快递公司的“快递小哥〞日平均工资为〔元〕，由①知，甲快递公司的“快递小哥〞日平均工资为元.故推荐小赵去乙快递公式应聘.25．【2023河北衡水联考】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一局部.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：〔单位：人〕经常使用网络外卖偶尔或不用网络外卖合计男性5050100女性6040100合计11090200〔1〕根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？〔2〕①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关；(2)①；②答案见解析.(2)①依题意可得经常使用网络外卖的有人，偶尔或不用网络外卖的有人.那么选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由题意可得，随机变量服从二项分布，那么；.试题解析：〔2〕①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有〔人〕，偶尔或不用网络外卖的有〔人〕.那么选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，∴；.26．【2023广西南宁摸底】某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.〔1〕根据条件与等高条形图完成下面的列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关〞？注：，其中.〔2〕用样本的频率估计概率，假设随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为，试求的分布列及数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6.抽中农村户口家长的概率为0.4，所以满足二项分布，由二项分布公式写出的分布列及数学期望。试题解析：〔1〕完成列联表，如下：代入公式，得观测值：.∴我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关〞.〔2〕用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6.抽中农村户口家长的概率为0.4，的可能取值为0，1，2，3.，，，.∴的分布列为：.27．【2023云南昆明一中摸底】某市为了解本市万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如下图的频率分布直方图.〔1〕估算该校名学生成绩的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔2〕求这名学生成绩在内的人数；〔3〕现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名〔从高到低〕在全市前名的人数记为，求的分布列和数学期望.参考数据：假设，那么，【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.试题解析：〔1〕〔2〕.随机变量.于是，，.的分布列：数学期望.28．【2023广西柳州摸底联考】在一次诗词知识竞赛调査中，发现参赛选手多数分为两个年龄段:〔单位：岁〕，其中答对诗词名句与否的人数如下图.〔1〕完成下面的列联表；判断是否有的把握认为答对诗词名与年龄有关，请说明你的理由；〔参考公式：，其中〕〔2〕假设方案在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手，求3名选手中在岁之间的人数的分布列和期望.【答案】〔1〕有的把握〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕将数据代入卡方公式,再将值与参考数据比拟,确定把握率〔2〕先根据分层抽样得随机变量取法:0，1，2，再利用组合数求对应概率,列表可得分布列,最后根据期望公式求期望试题解析：〔1〕由得列联表为:，∴有的把握认为答对诗词名句与年龄有关.∴的分布列为:.29．【2023河南名校联考】为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如下图：〔1〕计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；〔2〕用频率估计概率，假设从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望.【答案】〔1〕，；〔2〕所以变量的分布列为：.试题解析：〔1〕由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是，乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是.〔2〕记“从乙地抽取1人进行问卷调查不低于80分〞为事件，那么.随机变量的可能取值为，且，所以，所以变量的分布列为：x01234p.30．【2023贵州黔东南州联考】近年来我国电子商务行业迎来开展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和效劳的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为，对效劳好评率为，其中对商品和效劳都做出好评的交易为80次．〔1〕是否可以在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与效劳好评有关？〔2〕假设针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．注：1.注2.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.试题解析：〔1〕由题意可得关于商品评价和效劳评价的列联表：对效劳好评对效劳不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15