2023年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节曲线与方程学案理北师大版

第八节曲线与方程[考纲](教师用书独具)1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的根本思想和利用坐标法研究几何问题的根本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．(对应学生用书第146页)[根底知识填充]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这条曲线叫作方程的曲线；这个方程叫作曲线的方程．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.(1)当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆．(2)当e＞1时，圆锥曲线是双曲线．(3)当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．4．两曲线的交点设曲线C1的方程为f1(x，y)＝0，曲线C2的方程为g(x，y)＝0，那么(1)曲线C1，C2的任意一个交点坐标都满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1(x，y)＝0，,g(x，y)＝0.))(2)反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标．[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝eq\r(x)与x＝y2表示同一曲线．()[解析]对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝eq\r(x)是曲线x＝y2的一局部，错误．[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，直线l：x＝－eq\f(1,4)，点B是l上的动点．假设过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，那么点M的轨迹是()A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线D[由|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]3．点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且eq\o(QP,\s\UP7(→))·eq\o(QF,\s\UP7(→))＝eq\o(FP,\s\UP7(→))·eq\o(FQ,\s\UP7(→))，那么动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4y B．y2＝3xC．x2＝2y D．y2＝4xA[设点P(x，y)，那么Q(x，－1)．∵eq\o(QP,\s\UP7(→))·eq\o(QF,\s\UP7(→))＝eq\o(FP,\s\UP7(→))·eq\o(FQ,\s\UP7(→))，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.应选A．]4．△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，那么顶点A的轨迹方程为__________．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)[设A(x，y)，那么Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))∴|CD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－5))\s\up12(2)＋\f(y2,4))＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.]5．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，那么线段MN中点的轨迹方程是________．eq\f(x2,a2)＋eq\f(4y2,b2)＝1[设MN的中点为P(x，y)，那么点M(x,2y)，又点M在椭圆上，∴eq\f(x2,a2)＋eq\f((2y)2,b2)＝1，即所求的轨迹方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(4y2,b2)＝1.](对应学生用书第147页)直接法求轨迹方程设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且eq\o(MN,\s\UP7(→))＝2eq\o(MP,\s\UP7(→))，eq\o(PM,\s\UP7(→))⊥eq\o(PF,\s\UP7(→))，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.【导学号：79140299】[解]设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵eq\o(PM,\s\UP7(→))⊥eq\o(PF,\s\UP7(→))，eq\o(PM,\s\UP7(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\UP7(→))＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋yeq\o\al(2,0)＝0.由eq\o(MN,\s\UP7(→))＝2eq\o(MP,\s\UP7(→))得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))∴－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.[规律方法]用直接法求曲线方程的关键是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，但要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略.[跟踪训练](1)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，那么P点的轨迹方程为()A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2(2)M(－2,0)，N(2,0)，那么以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)(1)D(2)D[(1)如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM，那么MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，∴|PM|＝eq\r(|MA|2＋|PA|2)＝eq\r(2)，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.(2)设P(x，y)，∵△MPN为以MN为斜边的直角三角形，∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，应选D．]定义法求轨迹方程如图8­8­1所示，点C为圆(x＋eq\r(2))2＋y2＝4的圆心，点A(eq\r(2)，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且eq\o(MQ,\s\UP7(→))·eq\o(AP,\s\UP7(→))＝0，eq\o(AP,\s\UP7(→))＝2eq\o(AM,\s\UP7(→)).当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．图8­8­1[解]由(x＋eq\r(2))2＋y2＝4知圆心C(－eq\r(2)，0)，半径r＝2.∵eq\o(MQ,\s\UP7(→))·eq\o(AP,\s\UP7(→))＝0，eq\o(AP,\s\UP7(→))＝2eq\o(AM,\s\UP7(→))，∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.如图，连接AQ，那么|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2.又|AC|＝2eq\r(2)>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－eq\r(2)，0)，A(eq\r(2)，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．由c＝eq\r(2)，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.假设将本例中的条件“圆C的方程(x＋eq\r(2))2＋y2＝4”改为“圆C的方程(x＋eq\r(2))2＋y2＝16”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程．[解]由(x＋eq\r(2))2＋y2＝16知圆心C(－eq\r(2)，0)，半径r＝4.∵eq\o(MQ,\s\UP7(→))·eq\o(AP,\s\UP7(→))＝0，eq\o(AP,\s\UP7(→))＝2eq\o(AM,\s\UP7(→))，∴QM垂直平分AP，连接AQ，那么|AQ|＝|QP|，∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4.根据椭圆定义，点Q的轨迹是以C(－eq\r(2)，0)，A(eq\r(2)，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．由c＝eq\r(2)，a＝2，得b＝eq\r(2).因此点Q的轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.[规律方法]定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点1求轨迹方程时，假设动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，那么可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.2关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，那么应对其中的变量x或y进行限制.[跟踪训练](1)假设动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，那么点M的轨迹方程是()A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x(2)A(－5,0)，B(5,0)，动点P满足|eq\o(PB,\s\UP7(→))|，eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\UP7(→))|，8成等差数列，那么点P的轨迹方程为________．(1)D(2)eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4)[(1)依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，所以点M的轨迹的方程为y2＝16x，应选D．(2)由得|eq\o(PA,\s\UP7(→))|－|eq\o(PB,\s\UP7(→))|＝8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝4，b＝3，c＝5，所以点P的轨迹方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x≥4)．]相关点(代入)法求轨迹方程(2023·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq\o(NP,\s\UP7(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\UP7(→)).(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq\o(OP,\s\UP7(→))·eq\o(PQ,\s\UP7(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，那么N(x0,0)，eq\o(NP,\s\UP7(→))＝(x－x0，y)，eq\o(NM,\s\UP7(→))＝(0，y0)．由eq\o(NP,\s\UP7(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\UP7(→))得x0＝x，y0＝eq\f(\r(2),2)y.因为M(x0，y0)在C上，所以eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，那么eq\o(OQ,\s\UP7(→))＝(－3，t)，eq\o(PF,\s\UP7(→))＝(－1－m，－n)，eq\o(OQ,\s\UP7(→))·eq\o(PF,\s\UP7(→))＝3＋3m－tn，eq\o(OP,\s\UP7(→))＝(m，n)，eq\o(PQ,\s\UP7(→))＝(－3－m，t－n)．由eq\o(OP,\s\UP7(→))·eq\o(PQ,\s\UP7(→))＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn所以eq\o(OQ,\s\UP7(→))·eq\o(PF,\s\UP7(→))＝0，即eq\o(OQ,\s\UP7(→))⊥eq\o(PF,\s\UP7(→)).又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[规律方法]“相关点法〞求轨迹方程的根本步骤1设点：设被动点坐标为x，y，主动点坐标为x1，y1.2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝f(x，y)，,y1＝g(x，y).))3代换：将上述关系式代入曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.[跟踪训练](2023·武汉模拟)P是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦