2023年高考数学一轮复习高考大题专项练5高考中的解析几何

高考大题专项练五高考中的解析几何1.椭圆M:x2a2+y23=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆(1)求椭圆方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.2.(2023全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.3.抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)假设F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)假设△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.4.中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为77(1)求椭圆C的方程;(2)假设椭圆C1的方程为:x2m2+y2n2=1(m>n>0),椭圆C2的方程为:x2m2+y2n2=λ(λ>0,且λ≠1),那么称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.如图,C2是椭圆5.(2023北京,文19)椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.6.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线(1)求椭圆C的方程;(2)求OA·(3)假设B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.7.如图,椭圆x24+y23=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y(1)假设点G的横坐标为-14,求直线AB(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.8.设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.假设BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.参考答案高考大题专项练五高考中的解析几何1.解(1)因为F(-1,0)为椭圆的焦点,所以c=1.又b2=3,所以a2=4,所以椭圆方程为x24+(2)因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,所以直线方程为y=x+1,和椭圆方程联立得到x24+y23=1,y=x所以Δ=288,x1+x2=-87,x1x2=-87,所以|CD|=1+k2|x1-x(3)当直线l无斜率时,直线方程为x=-1,此时D-1,32△ABD,△ABC面积相等,|S1-S2|=0.当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),设C(x1,y1),D(x2,y2),与椭圆方程联立得到x消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然Δ>0,方程有根,且x1+x2=-8k23+4k2,x1此时|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=12≤12立,所以|S1-S2|的最大值为2.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB(2)由y=x24,得y'=设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1从而|AB|=2|x1-x2|=42(由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+所以直线AB的方程为y=x+7.3.解由题设知F12设l1:y=a,l2:y=b,那么ab≠0,且Aa22,a,Bb22,b,P记过A,B两点的直线为l,那么l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,那么k1=a-b1+所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),那么S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|S△PQF=|a由题设可得|b-a|x1所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).(分类讨论)当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=而a+b2=y,所以y2=x-1(当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.4.解(1)设椭圆C的方程为x2a2+∴直线AB的方程为x-a+∴F1(-1,0)到直线AB的距离d=|b-ab|a2+b2=77又b2=a2-1,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为x212①假设切线l垂直于x轴,那么其方程为x=±2,易求得|MN|=26.②假设切线l不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+b,将y=kx+b代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,∴Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即b2=4k2+3, (*)设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将y=kx+b代入椭圆C2的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,此时x1+x2=-8kb3+4k2,x1x|x1-x2|=43∴|MN|=1+=461+k23+4∵3+4k2≥3,∴1<1+13+4即26<261+13+4综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[26,42].5.(1)解设椭圆C的方程为x2a2+y由题意得a=2,ca所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=(2)证明设M(m,n),那么D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=nm故直线DE的斜率kDE=-m+2所以直线DE的方程为y=-m+2n·(x-m),直线BN的方程为y=n2-m联立y解得点E的纵坐标yE=-n(由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45又S△BDE=12|BD|·|yE|=25S△BDN=12|BD|·|n|所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.6.(1)解由题意知,ca=12,又a2=b2+c2,所以a=2,b=3.故椭圆的方程为x24+(2)解由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),由y可得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么Δ=322k4-4(3+4k2)(64k2-12)>0,所以0≤k2<14那么x1+x2=32k23+4k2,x1x所以OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-4)(x2=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=(1+k2)·64k2-123+4k2-4k2·32k2因为0≤k2<14,所以-873≤-874那么-4≤25-874k2(3)证明因为B,E关于x轴对称,所以可设E(x2,-y2),那么直线AE的方程为y-y1=y1+y2x令y=0,可得x=x1-y1因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以x=2x1所以直线AE与x轴交于定点(1,0).7.解(1)依题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x+1),将其代入x24整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-8k故点G的横坐标为x1+x解得k=±12(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x轴或y轴垂直.由(1)可得G-4设点D坐标为(xD,0).因为DG⊥AB,所以3k4解得xD=-k2即D-k因为△GFD∽△OED,且S1=S2,所以|GD|=|OD|.所以-k整理得8k2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得S1=S2.8.解(1)设F(c,0).由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c所以,椭圆的方程为x24+(2)设直线l的斜率为k(k≠0),那么直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x24+整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2或