2023年高考数学一轮复习课时分层训练12实际问题的函数建模文北师大版

课时分层训练(十二)实际问题的函数建模A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2023·福州模拟)在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00那么对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．]2．(2023·东城模拟)某商场在2023年元旦开展“购物折上折〞活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，那么购置该商品的实际付款额为1500×0.8－200＝1000元．设购置某商品的实际折扣率＝eq\f(实际付款额,商品的标价)×100%，某人欲购置标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为()【导学号：00090056】A．55% B．65%C．75% D．80%B[当购置标价为2700元的商品时，产品的八折后价格为：2700×0.8＝2160，故实际付款：2160－400＝1760，故购置某商品的实际折扣率为：eq\f(1760,2700)×100%≈65%，应选B.]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2­9­2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图2­9­2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，那么一定正确的选项是()A．① B．①②C．①③ D．①②③A[由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的eq\f(1,2)，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的选项是①.]4．(2023·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为()A．85元 B．90元C．95元 D．100元C[设每个售价定为x元，那么利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]，∴当x＝95时，y最大．]5．将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，假设再过mmin甲桶中的水只有eq\f(a,4)L，那么m的值为()A．5B．8C．9D．10A[∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝eq\f(1,2)a，可得n＝eq\f(1,5)lneq\f(1,2)，∴f(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，因此，当kmin后甲桶中的水只有eq\f(a,4)L时，f(k)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5，应选A．]二、填空题6．在如图2­9­3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影局部)，那么其边长x为________m.图2­9­320[设内接矩形另一边长为y，那么由相似三角形性质可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，假设初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)，至少应过滤________次才能到达市场要求．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)8[设过滤n次才能到达市场要求，那么2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))n≤0.1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(2,3)≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.]8．(2023·成都模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．假设该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，那么该食品在33℃的保鲜时间是________小时．【导学号：00090057】24[由条件，得192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,192)))eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，那么t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝24.]三、解答题9．(2023·抚顺模拟)食品平安问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4eq\r(2a)，Q＝eq\f(1,4)a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？[解](1)∵甲大棚投入50万元，那么乙大棚投入150万元，1分∴f(50)＝80＋4eq\r(2×50)＋eq\f(1,4)×150＋120＝277.5万元.3分(2)f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250，4分依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥20,200－x≥20))⇒20≤x≤180，6分故f(x)＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250(20≤x≤180).7分令t＝eq\r(x)∈[2eq\r(5)，6eq\r(5)]，那么f(x)＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋250＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋282，9分当t＝8eq\r(2)，即x＝128时，f(x)max＝282万元.11分所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.12分10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，假设每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；假设每团人数多于30人，那么给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到到达规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设旅行团人数为x，由题得0<x≤75(x∈N*)，2分飞机票价格为y元，那么y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,900－10x－30，30＜x≤75，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,1200－10x，30＜x≤75.))5分(2)设旅行社获利S元，那么S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,x1200－10x－15000，30＜x≤75，))即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,－10x－602＋21000，30＜x≤75.))8分因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x＝30时，S取最大值12000元，又S＝－10(x－60)2＋21000在区间(30,75]上，当x＝60时，取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2023·南昌模拟)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，那么土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()【导学号：00090058】A．5km处 B．4km处C．3km处 D．2km处A[设仓库与车站距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，于是y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\f(k1,10),8＝10k2))，解得k1＝20，k2＝eq\f(4,5).设总费用为y，那么y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8.当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，即x＝5时取等号，应选A．]2．(2023·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个．y＝4x1024[设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过eq\f(60x,30)个30分钟有22x＝4x个病毒，∴病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为y＝4x，∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1024个．]3．某物体的温度θ(单位：℃)随时间t(单位：min)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0且m>0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5℃；(2)假设物体的温度总不低于2℃，求m的取值范围．[解](1)假设m＝2，那么θ＝2·2t＋21－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(1,2t)))，当θ＝5时，2t＋eq\f(1,2t)＝eq\f(5,2)，2分令2t＝x(x≥1)，那么x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq\f(1,2)(舍去)，∴2t＝2，即t＝1，∴经过1min，物体的温度为5℃.5分(2)物体的温度总不低于2℃，即θ≥2恒成立，即m·2t＋eq\f(2,2t)≥2恒成立，亦