2023年高考数学一轮复习课时分层训练25解三角形实际应用举例理北师大版

课时分层训练(二十五)解三角形实际应用举例A组根底达标一、选择题1．如图3­8­8，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的()图3­8­8A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]2．如图3­8­9所示，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的距离为()图3­8­9A．akmB.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akmB[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝eq\r(3)a.]3．如图3­8­10，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，那么塔高AB等于()图3­8­10A．5eq\r(6)m B．15eq\r(3)mC．5eq\r(2)m D．15eq\r(6)mD[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，解得BC＝15eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6)(m)．]4．如图3­8­11，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.AB＝1km，水的流速为2km/h，假设客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，那么客船在静水中的速度为()【导学号：79140138】图3­8­11A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/hB[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\s\up7(eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))eq\s\up7(2)＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).]5．如图3­8­12，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A、B的距离是84m，那么塔高CD为()图3­8­12A．24m B．12eq\r(5)mC．12eq\r(7)m D．36mC[设塔高CD＝xm，那么AD＝xm，DB＝eq\r(3)xm.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(eq\r(3)x)2－2eq\r(3)·x2cos150°，解得x＝12eq\r(7)(负值舍去)，故塔高为12eq\r(7)m．]二、填空题6．A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3km，那么B到C的距离为________km.eq\r(6)－1[如图，由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝xkm，那么由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，∵x＞0，∴x＝eq\r(6)－1.]7．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，那么塔高是________m.eq\f(400,3)[如图，设塔AB高为h，在Rt△CDB中，CD＝200m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝eq\f(200,cos30°)＝eq\f(400\r(3),3)(m)．在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin120°)＝eq\f(AB,sin30°)，∴AB＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(400,3)(m)．]8．(2023·福州质检)如图3­8­13，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.假设山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，那么这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1)．参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236.【导学号：79140139】图3­8­1322.6[由题意可得AB＝200，AC＝100eq\r(2)，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，那么BC＝100eq\r(10)≈141.4×2.236，又历时14s，所以速度为eq\f(BC,14)≈22.6m/s.]三、解答题9．如图3­8­14，航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内，飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(取eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)图3­8­14[解]如图，作CD垂直直线AB于点D，∵∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，又在△ABC中，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，AB＝50×420＝21000，∴BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))．∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)≈7350.故山顶的海拔高度为10000－7350＝2650(m)．10．如图3­8­15，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，假设渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3­8­15(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．[解](1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝14海里/小时．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).B组能力提升11．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，那么水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150mA[设水柱高度是hm，水柱底端为C(图略)，那么在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m．]12．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，那么角AA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))D[由题意得sin2A＜sin2B＋sin2再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.那么cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，∵0＜A＜π，∴0＜A＜eq\f(π,2).又a为最大边，∴A＞eq\f(π,3).因此角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).]13．如图3­8­16，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.山高BC＝100m，那么山高MN＝________m.图3­8­16150[根据题图，AC＝100eq\r(2)m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)⇒AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，∴MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．]14．“德是〞号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心，如图3­8­17(记为B，C，D)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向.【导学号：79140140】图3­8­17(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．[解](1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，那么△PAC，△PAB均为直角三角形．在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝eq\r(3)，又∠CAB＝90°，BC＝eq\r(