2023年高考数学一轮复习课时分层训练39数学归纳法理北师大版

课时分层训练(三十九)数学归纳法A组根底达标一、选择题1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是()A．1 B．2C．3 D．4C[∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.]2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时命题成立的根底上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于()A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对B[此题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]3．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜测an的表达式为()【导学号：79140216】A.eq\f(1,(n－1)(n＋1))B.eq\f(1,2n(2n＋1))C.eq\f(1,(2n－1)(2n＋1)) D．eq\f(1,(2n＋1)(2n＋2))C[由a1＝eq\f(1,3)，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝eq\f(1,15)＝eq\f(1,3×5)，a3＝eq\f(1,35)＝eq\f(1,5×7)，a4＝eq\f(1,63)＝eq\f(1,7×9).猜测an＝eq\f(1,(2n－1)(2n＋1)).]4．对于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式eq\r(k2＋k)＜k＋1成立，当n＝k＋1时，eq\r((k＋1)2＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r((k2＋3k＋2)＋(k＋2))＝eq\r((k＋2)2)＝(k＋1)＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立，那么上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确D[当n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．]5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，那么f(n)的表达式为()A．n＋1 B．2nC.eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1C[1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(n(n＋1),2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)个区域．]二、填空题6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，那么当n＝k＋1时左端应在n＝k的根底上加上的项为________．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2[当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，那么当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]7．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N＋)，依次计算出a2，a3，a4，猜测an＝________.eq\f(2,6n－5)[a1＝2，a2＝eq\f(2,3×2＋1)＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(\f(2,7),3×\f(2,7)＋1)＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(\f(2,13),3×\f(2,13))＋1＝eq\f(2,19).由此猜测an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列，所以an＝eq\f(2,6n－5).]8．凸n多边形有f(n)条对角线．那么凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________．f(n＋1)＝f(n)＋n－1[f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.]三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)<2－eq\f(1,n)(n∈N＋，n≥2).【导学号：79140217】[证明](1)当n＝2时，1＋eq\f(1,22)＝eq\f(5,4)<2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)<2－eq\f(1,k).当n＝k＋1时，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,(k＋1)2)<2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,(k＋1)2)<2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k(k＋1))＝2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝2－eq\f(1,k＋1)命题成立．由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2时均成立．10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N＋)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜测通项公式an；(2)证明(1)中的猜测．[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝eq\f(3,2)；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝eq\f(7,4)；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝eq\f(15,8).由此猜测an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N＋)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2＋\f(2k－1,2k－1),2)＝eq\f(2k＋1－1,2k).所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②知猜测an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N＋)成立．B组能力提升11．(2023·昆明诊断)设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，经计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，f(32)＞eq\f(7,2)，观察上述结果，可推测出一般结论()A．f(2n)＞eq\f(2n＋1,2) B．f(n2)≥eq\f(n＋2,2)C．f(2n)≥eq\f(n＋2,2) D．以上都不对C[∵f(22)＞eq\f(4,2)，f(23)＞eq\f(5,2)，f(24)＞eq\f(6,2)，f(25)＞eq\f(7,2)，∴当n≥1时，有f(2n)≥eq\f(n＋2,2).]12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．假设用f(n)表示这n条直线交点的个数，那么f(4)＝__________；当n>4时，f(n)＝__________(用n表示)．5eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)(n≥3)[f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)(n≥3)．]13．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－xeq\o\al(2,n)＋xn＋c(n∈N＋)．(1)证明：{xn}是递减数列的充要条件是c＜0；(2)假设0＜c≤eq\f(1,4)，证明数列{xn}是递增数列.【导学号：79140218】[证明](1)充分性：假设c＜0，由于xn＋1＝－xeq\o\al(2,n)＋xn＋c≤xn＋c＜xn，∴数列{xn}是递减数列．必要性：假设{xn}是递减数列，那么x2＜x1，且x1＝0.又x2＝－xeq\o\al(2,1)＋x1＋c＝c，∴c＜0.故{xn}是递减数列的充要条件是c＜0.(2)假设0＜c≤eq\f(1,4)，要证{xn}是递增数列．即xn＋1－xn＝－xeq\o\al(2,n)＋c＞0，即证xn＜eq\r(c)对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明：当0＜c≤eq\f(1,4)时，xn＜eq\r(c)对任意n≥1成立．①当n＝1时，x1＝0＜eq\r(c)≤eq\f(1,2)，结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即xk＜eq\r(c).∵函数f