2023年高考数学一轮复习课时分层训练50圆的方程理北师大版

课时分层训练(五十)圆的方程A组根底达标一、选择题1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2B[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]2．方程y＝eq\r(1－x2)表示的曲线是()A．上半圆 B．下半圆C．圆 D．抛物线A[由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．]3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1A[设圆上任一点的坐标为(x0，y0)，那么xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，设点P与圆上任一点连线的中点的坐标为(x，y)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y0－2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，应选A.]4．圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，那么圆C的方程是()A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8A[直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，那么圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.应选A.]5．(2023·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，那么|PQ|的最小值为()【导学号：79140276】A．6B．4C．3D．2B[如下图，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]二、填空题6．(2023·郑州第二次质量预测)以点M(2,0)，N(0,4)为直径的圆的标准方程为________．(x－1)2＋(y－2)2＝5[圆心是MN的中点，即点(1,2)，半径r＝eq\f(1,2)MN＝eq\r(5)，那么以MN为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.]7．点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．x＋y－1＝0[圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，那么kCM＝eq\f(1－0,2－1)＝1.∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1×(x－1)，即x＋y－1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R(x－1)2＋y2＝2[因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝eq\r((2－1)2＋(－1－0)2)＝eq\r(2)，所以半径最大时的半径r＝eq\r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]三、解答题9．求适合以下条件的圆的方程．(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2).【导学号：79140277】[解](1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2).所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝eq\r((1－3)2＋(－4＋2)2)＝2eq\r(2)，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0.))解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.10．过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．[解](1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴eq\o(MC,\s\up7(→))1·eq\o(MO,\s\up7(→))＝0.又∵eq\o(MC,\s\up7(→))1＝(3－x，－y)，eq\o(MO,\s\up7(→))＝(－x，－y)，∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，当直线l与圆C1相切时，d＝eq\f(|3m－0|,\r(m2＋1))＝2，解得m＝±eq\f(2\r(5),5).把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝eq\f(5,3).当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴eq\f(5,3)＜x≤3.∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中eq\f(5,3)＜x≤3，其轨迹为一段圆弧．B组能力提升11．(2023·佛山模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，那么(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．6 B．25C．26 D．36D[(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝eq\r((5－2)2＋(－4)2)＝5.那么点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.]12．(2023·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，那么该圆的方程为________．x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0[法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq\f(|2a|,\r(2))，∴d2＋(eq\r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq\f(|a－b|,\r(2))，∴r2＝eq\f((a－b)2,2)＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③联立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－1.,r2＝9.))故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝9或(x－3)2＋(y－1)2＝9.法三：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，那么圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，那么E2＝4F圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，由得d2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.③联立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.]13．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求eq\o(AB,\s\up7(→))的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程.【导学号：79140278】[解](1)设eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝100，,4x－3y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－8.))假设eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－6，－8)，那么yB＝－11与yB＞0矛盾．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－8))舍去．即eq\o(AB,\s\up7(→))＝(6,8)．(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝(eq\r(10))2，其圆心为C(3，－1)，半径r＝eq\r(10)，∵eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o