高三立体几何大题30题含详细解答

立体几何大题1.如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片AEC中，ZACB=90°,AC=4cm,CD是斜边上的高沿CD把AAEC折成直二面角.(1)如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A,E的位置,使二面角A-CD-B是直二面角？证明你的结论.(2)试在平面AEC上确定一个P,使DP与平面AEC内任意一条直线都垂直，证明你的结论.(3)如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值.A第1A第1题图第1题图2.如图，已知正四棱柱AECE1A百CR的底面边长为3,狈IJ棱长为4,连结A』过A作AF丄A』垂足为F,且AF的延长线交竿于E。(I)求证：D』i平面AEC；(II)求三棱锥B-AEC的体积;(III)求二面如一AE—C的大小的正弦值.3.如图，正三棱柱ABC—ABiq的底面边长为1,点M在EC上，AAMC］是以M为直角顶点的等腰直角三角形.(I)求证:点M务」的中点；(II)求点E到平面AMq的距！(III)求二面角M—AC—B第3题图的正切值.第3题图4.如图，已知多面体AECDE中，AE丄平面ACD,DE丄平面ACD,三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2,AB=1,F是CD的中点.(I)求证：AF〃平面ECE；(II)求多面体ABCDE的体积；(III)求二面角C-BE-D的正切值.5.已知：AECD是矩形，设PA=a,PA丄平面AECD.M、N分别是AE、PC的中点.(I)求证：MN丄AE；(II)若PD=AB,且平面MND丄平面PCD,求二面角P—CD—A的大小;(III)在(II)的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.6.在正方体ABCD—ABCDi中，P、M、N分别为棱DD「AB、(I)求二面角B—MN—B的正切值；(II)证明：PE丄平面MNBj(III)画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、E两点间的距离。117.如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA丄底面ABCD,PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上,且PC丄平面AMN.(I)求证：AM丄PD；(II)求二面角P—AM—N的大小;(III)求直线CD与平面AMN所成角的大小.10.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E为DC的中点，沿AE将AAED折起，使二面角D—AE—B为60.(I)求DE与平面AC所成角的大小；(II)求二面角D—EC—B的大小.第10题8.如图，在直三棱柱ABC—ABC中，ZACB=90°.BC=CC=a，AC=2a.(I)求证：AB】丄BC；(II)求二面角B—AB—C的大小；(III)求点A到平面ABC的距离.11.直三棱柱ABC—ABC中,AC=CB=AA=2,ZACB=90°,E是BB的中点,D"B,ZADE=90°.求二面角D—AC—A的大小.1111(I)求证：CD丄平面ABBA；(II)(9.在长方体ABCD-ABCD中，已知AB=BC=2,BB=3,连接BC,过B作BE丄BC交CC于点E求证：AC丄平面BDE；求三棱锥'C—BDE的体积；求二面角E—BD—C的平面角大小13.如图，正三棱柱Aq中，AB=2,D是AE的中点，E是A£的中点，F是中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.1厂1(1)求此三棱柱的高；(2)求二面角C—AF—B的大小.14.已知AECD是矩形，PD丄平面ABCD,PD=DC=a,AD二近a,M、N分别是AD、PE的中点。(I)求证：平面MNC丄平面PEC；(II)求点A到平面MNC的距离。A.C.A.C.3=打15.如图，正三棱柱ABC—ABxq的底面边长的3,侧棱AA=—-,D是CE延长线上一点，且ED二EC.(I)求证：直线叫//平面A叩；(II)求二面角B-AD-B的大小；(III)求三棱锥q—ABBx的体积.

16.如图，正三棱柱ABC—ABC^BC=BB=1,D为EC上一点，且满足AD丄C»(I)求证：截面ADC】丄侧®BCj(II)k二面角C—AC—D的正弦值；(III)求直线A』与截面ADC】距离./B17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD〃EC,ZABC=90°,且ZADGarcs勒，又PA丄平面ABCD,AD=3AB=3PA=3ao(I)求二面角P—CD—A的正切值;(II)求点A到平面PEC的距离。/BVA丄平面ABCDo18.直角梯形ABCD中，BC/7AD,AD〃丄AE,BCVA丄平面ABCDo(1)求证：VCXCDo(2)若VA=VJm,求CV与平面VAD所成的角卩

119.如图，在正四棱柱AECD—A]E]C]D]中，AA^=—AB,厶M三点的平面ABMN交CR于点N.(I)求证：EM〃平面AECD；1111(II)求二面角B—AN—的正切值.点E、M分别为A』、qC的中点，过点片,B,20.如图，PA丄平面AC,四边形AECD是矩形，点E、M分别为A』、qC的中点，过点片,B,(I)求证：AF〃平面PCE；(II)若二面角P—CD—B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离.21.如图，正三棱柱Aq中，AB=2,D是AE的中点，E>AC与DE所成的角为90°「1异面直线CF(1)求此三棱柱的高；(2)求二面角C—AF—E的大小.

异面直线CF22-如图’正^BCD-ABCDe棱长为弘E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF=x.当x为何值时，三棱锥B-BEF的体积最大？求三棱椎B-BEF的体积最大时，二面角B-EF-B的正切值;(理科做)求异面直线勺丘与代F所成的角的取值范围.已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面AECD是平行四边形，PG丄平面ABCD,垂足为G,G在AD上，且AG=^GD,EG丄GC,GB=GC=2,E是EC的中点，四面体P—BCG的体积为|.(I)求异面直线GE与PC所成的角；(II)求点D到平面PBG的距离;PF(III)若F点是棱PC上一点，且DF丄GC,求=的值.D,如图，已知正方体ABCD-ABCiD的棱长为2,M、N分别为隔的中点，求：D,(I)CM与D$所成角的余弦值；(II)异面直线CM与D1N(II)异面直线CM与D1N的距离.25.如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA丄底面ABCD,PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC丄平面AMN.M、N分别为AABD,AAiB!D的重心.(1)求证：MN丄BC；(2)若二面角C—AB—D的大小为将AABD沿BD折起，二面角A-BD-C大小记为°。(1)求证：面AEF丄面BCD；(2)°为何值时，AB丄CD。28.如图，在斜三棱柱ABC-ABC中，侧面AABB丄底面ABC，侧棱AA与底面ABC成60。的角，AA1=2.底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段Bq上一点，且BE=1Bq.(1)求证：GE〃侧面AABB；(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小29.已知三棱锥P—ABC中PB丄底面ABC，/BCA=90°，PB=BC=CA=a，E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA.(1)求证：平面PAC丄PBC；(2)求平面BEF与底面ABC所成角(用一个反三角函数值表示).30.三棱锥S数值表示).30.三棱锥S—ABC中，底面△ABC是顶角为ZABC=aarctanJ2，求点q到平面A』