电磁学等多个文件数学讲义-矢量运算

江苏省物理三级培训体系系列讲数学第二讲矢量运算江苏省物理学会中学生物理竞矢量运矢量加形规则.如右图（a）所示，有CAB．矢量加法也可以用矢量三角形表示，如右图（b）AB的尾相接，得矢量C.BA的尾相接，也得矢量C.交换CABBABCDABCD)ACB矢量加法是几个矢量的合成问题，反之，一个矢量也可以分解为几个矢量.例AAxAyAz在直角坐标系中，三个轴方向上的单位矢量分别为ijkAxAzAx，y和zAxAyAzAAxiAyjAzk，可A AxiAyjAzkAA AxiAyjAzkA 2 AxiAyjAz A的单位矢量由图可知cos

|A|A

，cos|

，其中，和A|AA与三个坐标轴|A

coscos和cosAAB和CAAxiAyjAzk，BBxiByjBzk，CCxiCyjABCAxBxCxiAyByCyjAzBzCz矢量减ABAB通常(BBB一样，但方向相反．由矢量ABC0标量和矢量的乘一个标量kAB

BkA

B的大小等于的A大小的|

k0BAk0BA反方向；若|k|1BA大，|k|1BA小．应BA，方向相同或相反．两矢量的标量影与另一矢量模的乘积，结果是一个标量.AB|A||B|cos式中为两矢量的夹角，如图所示．由此可知，2ABAB0．ABB分配A(BCABAijkiii1，jj1，kk1，ij0，jk0，kiABAxiAyjAzkBxiByjBzkAxBxAyByAz两矢量的矢量ABAB和CCAB|中为矢量AB的夹角，如图所示

（0由此可以得到两非零矢量A和B平行的条件为：AB0，根据矢量积定义和右手螺旋法则可以看出：BAAB．由此说明矢量 配律，即：A(BC)ABAC．此外，矢量 从结合律，即 A(BC)(AB)CAB和C而右边三重积的矢量和矢量CAB构成的平面内，可见左右两边的结果不一样，式中iii0，jj0，kk0，ijk，jki，kiABAxiAyjAzkBxiByjBzkAyBzAzByiAzBxAxBzjAxByAyBxk = 三矢量的乘标量三重积C(AB)，其结果是一个标量．在矢量运算中，规定先进行叉积运算，后进行点积运算．根据矢量运算，标量三重积可表示为：CAB|A||B||C|sincosA，B和C平行六面体AB的大小为该平行六面体的底面积，|C|cos为该平行六面B(CAA(BCA(BCB(CA)CABA、B和CA(BC0．该式为三准静态问题的力三角形判断处于平衡时，必有F0，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量（有向线段）8、运动的合成与分AC的速度（绝对速度）为VACBC的速度（牵连速度）为VBC，AB的速度（相对速度）为VAB，则有：VACVABVBCSACSABSBCaACaABaBCvv1例【例1】已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则 →≤1，→

z＝

→的最大值

03α，β满足|α|＝1，|β|≤1夹角θ的取值范围

αβ4】已知△ABCA、B、CA(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC则AD的坐标 【例5】已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2， 【例7】如图所示，竖直杆AB在绳AC拉力作用下使整个装置处于平衡状态，若AC加长，使C点左移，AB仍竖直，且处于平衡状态，那么AC绳的拉力T和杆AB受到绳子的压力N与原先相比，下列说法正确 A．T增大，N减 B．T减小，N增 C．T和N均增 D．T和N均减8mF（Fmg）慢慢将小球拉起，在θ是多少？【例9如图所示绳子a一端固定在杆上C点另一端通过定滑轮用力拉住一重物以绳b挂在杆BC上，杆可绕B点转动杆绳质量及摩擦不计重物处于静止若将绳子a慢慢放下则下列说法正确的 aFaFaFaFaFaFaFaF【例10】一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与此同时，另一质点以v2速度从B点出发作匀速运动，已知A、C相距l，B、C相距d，且BC⊥AC，若要两质点相遇，v2的最小速率为多少？其方向【例11】一只小船从河岸A点出发，船头垂直于河岸行驶10min到达正对岸B下游120mC点．若ABθ12.5minBd．12】在仰角AO