2013级985高等数学下卷及其参

2013~2014《微积分》期末考试试卷（A卷）及其参考答案共8页20 考试时间：2013.6.30上午9：00—11：00考试方式：闭—二三四五复查总 总复查一、解答题（每题6分，共30分 zexysinx zyexysin(xyexy.cosxy)exyysinxycos(xzexyxsin(xy)cos(xdzzdxzdyzexyysinxycosxydxxsinxycosx x2y2z2R2上任一点a,bc处的切平面方程Fxyzx2y2z2R2

axbycza2b2c2axbyczR2fxyz2x3y3y2z在点1,2,1（1）

f,f,f6x2y,2x36xyz|（2）沿梯度方向的方向导数是|求二重积分xy2dxdyDy22pxP0xpD的闭区域

p

x2p

xy2dxdy

2xdx

y2

dy

y2

p2

y42 2D

y221

|y22p

8 sin

y 8l求x2xyy2ds上，其中lx2y2R2位于第一象限的部分ll:xRcos

yRsint,t0,2ds

x2ty2tdt

x2xyy2

2R2cos2tR2cosl0l0

R221cost.sint R2tsin2t|2

0二、解答题（6分，共30分zfuv

2z

，求rt和r2【解】zf.2costcos2tf.2 z

2r

zrr

1f.2costcos1f.2costcos

OA是抛物线y24x，上自原点O0,0A1,2的有向弧，求曲线积Peyx,Qxey2y，因为PeyQey LIeyxdxxey2ydy与路径无关，故改沿折线路径积L00I1e0xdx2 00设xyz|x2y2z2

Iz2dxdydzI1x2y2z2dxdydz【球坐标】12dsind12.3 3 2cos|15|143 0 0 I20【切片法】210

dxdy

xy|x2y21z221

1z22dz

3|1x2y2I

1x1x2

0

z

323

1x2y2

22d1

1r2||

3 321 3

22

5 3

1r

2d1r

1r2 00n判断级数n的敛散性n【解】记

nn1,2,...

un1

n .

1

n!收敛n

nn1n1

n

1 nn

n1n求幂级数2的收敛半径rxr时该级数的敛散性n【解记

n221，所以幂级 n2 1

n1的收敛半径r 1.又当x1时，因为

2收敛，所以幂级数nnn2xr1时绝对收敛n三、解答题（824分设Sx2y2z2a2Ixyz2dSSIxyz2dSx2y2z2dS2xydS2xzdS2 a2dS000a2.4a24a4S设S

2y20x40x

z

1，求沿S上侧的曲面积Ixzdydz2zydzdx3xydxdy.S【解法一取曲面S1:则

2y24

1（下侧）.记S与S1所围成的空间区域为I

xz2zy3xydxdydz

z2z

11

dxdy

x,

|1

2yy

013z0

1z

0所 Ixzdydz2zydzdx3xydxdy0

:z0x2

1（下侧）xoy

:x2y1242故xzdydz2zydzdx3xydxdy3xydxdy0.所以，I0 【解法二】Sz1

24

（下侧） z yx,y,12x,2 故n0

z, 12x 242 2x 242 y I[xz.cos2zy.cos3xy.cosS[xz.cos2zy.cos

[xz.2x2zy.y 2y2

2y2S:

4 1（上侧向xoy坐标面上的投影区域为Dxy: 1 y2 y2 I[x1

.2x214

2

2

y2

y1

4xrcos Jx,yr,

2r

所以I2r2cos24r2sin21r2

将函数fxln1x2x2展开成x的幂级数，并确定展开式成立的区间【解】fxln1x2x2ln1x(12xln1xln12x

x

,x

n

11ln1

ln

n

n1

2 2n12

11所以fxn0

n1

2四、解答题（8分2zx2y2xy1Dx2y24上的最大值（一）Dzx2xy解方程组z2yx0x0y0zD内的唯一驻点0,0（二）D的边界Dx2y24Lxyx2y2xy1x2y2Lx2xy2x L2yx2y

x

22,y2

Lx2y2

23,

2)7（三）zx2y2xy1D7五、证明题（8分）fxl为正向圆周x12y11D为l围成的圆域.fxdxdyfydxdy Ixfydyydx22x2x（1）

f22222

fDD

xdxdyydxdy

2y22y2

fx2y2y

222

2y2y2

dx dy fxdxdyfydx