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２023年中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.科目代码:670摘要:本文给出了中山大学20２３年研究生入学考试数学分析试题的一个参考答案.关键词:中山大学；研究生数学分析白建超2023年5月30日1.(每小题1５分，共6０分)计算下列各题:（1)（2).(3）.(4),其中为立体的边界曲面.解（１)（2)一方面做一下说明：对积分做变换，则，所以．故（3)一方面级数在时收敛,由于由比值判别法的极限形式有，即，所以对，当时收敛,极限不存在,即发散;当时收敛,极限存在,记当则,两式相减解得.又,所以(4)记上顶面为,锥面：.当时，；当,.则．2.(15分)考察函数在点的可微性．解本人感觉此题有问题，应当是若不是，显然和都不存在,也不存在,故不可微．下面给出我的个人见解：而与的取值有关，故此极限不存在,所以在点的不可微.3.(15分)求空间一点到平面的最短距离.解设为平面上的任意一点，则目的函数为.可以转化为求函数在约束条件的最小值问题.此题有两种解法(方法1)运用拉格朗日乘数法求条件极值,设,对分别求偏导数,并令其为零,即代入得从而,所以点到平面的最短距离为.(方法2)可以将约束条件代入函数中消去,转化为求二元函数的极小值问题，由于计算比较复杂,不再赘述,有爱好的读者可以做一下.4.(2０分)设，求由抛物线与双曲线所围成的平面区域的面积.解如图所示,解得交点坐标分别为故所求的区域面积为附图：５．（20分)设，试问为什么值时，方程存在正实根．解令，则有由于在上严格单调递减，且有当时，，此时解得显然成立，故当时,在上严格单调递减.而,所以方程在时不存在正实根．当时，令解得，即在上单调递减,在上单调递增,又，,由介值性定理知,方程在内有唯一的正实根.

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