(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步83空间中的平行关系练习新人教B版

8.3空间中的平行关系核心考点·精确研析考点一直线、平面平行的基本问题如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下边说法错误的选项是()A.OQ∥平面PCDB.PC∥平面BDQC.AQ∥平面PCDD.CD∥平面PAB2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则以下推理正确的选项是()A.α∩β=a,b?α?a∥bB.α∩β=a,a∥b?b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b如图是正方体的平面睁开图.对于这个正方体,有以下判断:①EC⊥平面AFN;②CN∥平面AFB;③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF.此中正确判断的序号是()A.①③B.②③C.①②④D.②③④如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.1【解析】1.选C.由于O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QO∥PC.由线面平行的判断定理,可知A、B正确,又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,故CD∥平面PAB,故D正确.2.选D.选项A中,α∩β=a,b?α,则a,b可能平行也可能订交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a?α,b?α,依据面面平行的判断定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.3.选C.由已知中正方体的平面睁开图,获得正方体的直观图以下列图:由?FN⊥平面EMC,故FN⊥EC;同理AF⊥EC,故EC⊥平面AFN,故①正确;由CN∥BE,则CN∥平面AFB,故②正确;由图可知BM∥DE显然错误,故③不正确;由BD∥NF得BD∥平面NCF,DE∥CF得DE∥平面NCF,由面面平行判断定理可知平面BDE∥平面NCF,故④正确.4.由于平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形直线、平面间平行的判断方法关注能否符合判断定理与性质定理,并注意定理中易忽略的条件.联合题意结构或绘制图形,联合图形作出判断.利用实物进行空间想象,比较判断.2熟记一些常有结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】直接法解T1,由于Q是AP的中点,故AQ∩平面PCD=P,所以AQ∥平面PCD是错误的.考点二直线、平面平行的判断与性质【典例】1.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,假如直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C∥平面DEF.【解题导思】序号联想解题1由直线SB∥平面DEFH,联想到利用线面平行的性质,判断四边形DEFH的形状,进而获得其面积.求证A1C∥平面DEF,只需想法在平面DEF上找到与A1C平行的直线即可,由于2CD=3BD,故联想到连结A1B,在△BA1C中由比率关系证明平行关系.【解析】1.取AC的中点G,连结SG,BG.3易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.由于SB∥平面DEFH,SB?平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,进而得HF∥AC∥DE,且HF=AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=·=.答案:2.如图,连结AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连结DK,由于ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,由于点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以AK=3BK,1又由于CD=3BD,所以A1C∥DK,又A1C?平面DEF,DK?平面DEF,所以A1C∥平面DEF.1.利用判断定理判断直线与平面平行,重点是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内能否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.判断或证明线面平行的常用方法利用线面平行的定义(无公共点).利用线面平行的判断定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α).4利用面面平行的性质(α∥β,a?α?a∥β;α∥β,a?β,a∥α?a∥β).1.以下列图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________.【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2.又E为AD中点,EF∥平面AB1C,EF?平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF=AC=.答案:2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,AB=2,CD=4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.【证明】设F为PD的中点,连结EF,FA.由于EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以ABEF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF?平面PAD,BE?平面PAD,5所以BE∥平面PAD.考点三面面平行的判断与性质及平行的综合问题命考什么:(1)考察面面平行的判断与性质定理的应用.(2)考察直线、平面平行的综题合问题.(3)考察直观想象、逻辑推理、数学运算的核心修养.精怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考察证明线线、线面、面面平行.解新趋向:考察作已知几何体的截面或求截面面积问题.读1.证明面面平行的方法学(1)面面平行的定义.霸(2)面面平行的判断定理.好(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.方(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.法(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质互相转变.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考察平行、垂直或空间角.面面平行的判断与性质【典例】以下列图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)由于G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又由于B1C1∥BC,所以GH∥BC,6所以B,C,H,G四点共面.(2)由于E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.由于EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,所以A1G∥EB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.又由于A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又由于A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1,所以平面EFA1∥平面BCHG.平行关系的综合应用【典例】以下列图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.【解析】在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,连结AG,在AB上取点F,使AF=EG,由于EG∥CD∥AF,EG=AF,所以四边形FEGA为平行四边形,所以FE∥AG.又AG?平面PAD,FE?平面PAD,所以EF∥平面PAD.所以F即为所求的点.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以222222PC=BC+PB=BC+AB+PA.7设PA=x则PC=,由PB·BC=BE·PC得:·a=·a,所以x=a,即PA=a,所以PC=a.又CE==a,所以=,所以==,即GE=CD=a,所以AF=a.故点F是AB上凑近B点的一个三平分点.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ订交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,则AC的长为______cm.【解析】由于平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ订交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连结AD,BM,CN,ME,NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以==,由于AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,8所以=,解得BC=cm,所以AC=AB+BC=2+=(cm).答案:2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:直线EG∥平面BDD1B1.平面EFG∥平面BDD1B1.【证明】(1)如图,连结SB,由于E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又由于SB?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1,所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连结SD,由于F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又由于SD?平面BDD1B1,FG?平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1,又EG?平面EFG,FG?平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.1.在四周体ABCD中,M,N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四周体的四个面中与MN平行的是________.9【解析】如图,连结AM并延伸交CD于E,连结BN并延伸交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由==,得MN∥AB,所以,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q