2023年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.6等价转化法（讲）理

方法六等价转化法著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表?什么叫解题?的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题〞.数学的解题过程，就是从未知向、从复杂到简单的化归转换过程.等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不标准、复杂的问题转化为熟悉、标准甚至模式法、简单的问题.历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.常见的转化方法有以下几种类型：(1)直接转化法：把原问题直接转化为根本定理、根本公式或根本图形问题；(2)换元法：运用“换元〞把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根本问题；(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达化归的目的；(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.1．由等与不等引起的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟〞，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．例1【2023届河北省定州中学高三下学期开学】定义：如果函数在区间上存在，满足，，那么称函数是在区间上的一个双中值函数，函数是区间上的双中值函数，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】，∵函数是区间上的双中值函数，∴区间上存在，满足∴方程在区间有两个不相等的解，令，那么，解得∴实数的取值范围是.故答案为．例2【2023届湖北省宜昌市高三年级元月调研】函数，假设函数有4个零点，那么实数的取值范围是_____________.【答案】点睛：此题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题。此题中根据题意可知，原问题等价于与有个交点，这个是解决问题的关键，属中档题2．由特殊与一般引起的转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素〞与“一般元素〞：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素〞把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素〞．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素〞或者“一般元素〞明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．第五步：回归目标问题．第六步：回忆反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．例3.设函数，观察：，，，，……，根据以上事实，当时，由归纳推理可得：.【答案】【解析】通过条件归纳推理可知,故填.3．由正与反引起的转化正难那么反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分表达对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目假设出现多种成立的情形，那么不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多〞“至少〞情形的问题中．例.假设从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是的事件是〔〕A.至少选一个海滨城市B.恰好选一个海滨城市C.至多项选择一个海滨城市D.两个都选海滨城市【答案】C【解析】从5个城市选取两个城市旅游，有10种选法，假设选2个海滨城市的选法有3种，所以选2个海滨城市的概率为，那么只多项选择一个海滨城市的概率为，选C.例5.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，那么不同的选取方式的种数为〔结果用数值表示〕．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：4．由空间与平面引起的转化立体几何中有些问题的解答，可以转化为平面几何问题来解决，即考虑转化成在一个平面上的问题，运用平面几何知识求解.特别是涉及旋转体的问题，通过研究轴截面，寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．例6【2023天津，文11】一个正方形的所有顶点在一个球面上，假设这个正方体的外表积为18，那么这个球的体积为.【答案】【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比拟简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.假设是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.假设是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.假设是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比拟简单.例7【2023课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点。〔1〕证明：直线平面PAB；〔2〕点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2)。【解析】试题解析：〔1〕取的中点，连结，。因为是的中点，所以∥,,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。又平面，平面，故平面。〔2〕由得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如下图的空间直角坐标系，那么，，，，,，设那么，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以，，即。 ①又M在棱PC上，设,那么。 ②5．由数与形引起的转化利用数形结合思想，往往可以实现数与形的相互转化，特别是涉及函数方程与函数图象、曲线与方程等问题，适时进行数与形的相互转化，可以到达化难为易、化繁为简的良好效果.例8【2023届湖北省武汉市高三二月调研】实数，满足约束条件，假设不等式恒成立，那么实数的最大值为〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如下图，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，在点或点处取得最小值，即.题中的不等式即：，那么：恒成立，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：，令，那么，令，那么在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，据此可得，当时，函数取得最大值，那么此时函数取得最小值，最小值为：.综上可得，实数的最大值为.此题选择A选项.例9【2023高考新课标3】直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，假设，那么__________________.【答案】4例10.点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点．〔Ⅰ〕求点的轨迹方程；〔Ⅱ〕假设直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕【解析】〔Ⅰ〕由题意知：，的轨迹是以、为焦点的椭圆，其轨迹方程为…4分〔Ⅱ〕设，，那么将直线与椭圆的方程联立得：，消去，得：，，………①，…6分原点总在以为直径的圆的内部即……7分而……9分即，且满足①式的取值范围是…12分【反思提升】通过以上问题的研究，我们可以体会到等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性.在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行.它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形.消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都表达了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变.由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，防止死搬硬套题型.在数学解题中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原那么，即把我们遇到的问题，通过转化