2021年吉林省高考数学试卷(全国新课标ⅱ)

吉林省高考数学试卷（文科国课）一、选题：本题共小题，每题分，共60分。在小题给的四个选项中，有一项是符题目要的。1分）i（2+3i）（）A．32iB．2i．﹣32iD﹣32i2分）已知集合A=1，3，5，7}，B={2，，45}，则AB=（）A．{3B．{．{3，D12，3，4，57}3分）函数fx）

的图象大致为（）A．

B．

C．D4分）已知向量，满足||=1

=1，则•（2

）=（）A．4B．．2D．5分）从名男同学和名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D0.36分）双曲线（）

=1（＞0b＞）的离心率为，则其渐近线方程为1

1111112111111121221A．y=±

xB．±

xC．±

xDy=±

x7分）在△ABC中，cos=

，BC=1，AC=5，则（）A．4．

．

D．28分）为计算S=1﹣+﹣+…+空白框中应填入（）

﹣，设计了如图的程序框图，则在A．i=i+1B．+C．i=i+3D．i=i+9分）在正方体ABCD﹣BCD中，E为棱CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．

B．

．

D10分）若fx）=cosx﹣在[0，a]是减函数，则的最大值是（）A．

B．

．

．π11）已知，是椭圆C的两个焦点，是C上的一点，若PF⊥PF，且∠PFF=60°，则C的离心率为（）A．1

B．

．

D﹣112分）已知（x是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足1﹣）=f（1+xf1=2，f1f（f3）+…+f50=（）2

nn13nnnnn13nnnA．﹣50B．．2D．50二、填题：本题共小题，每题分，共分。13分）曲线y=2lnx在点（0处的切线方程为．14分）若，y满足约束条件，则z=xy的最大值为．15分）已知tan（）=，则tanα=

．16分）已知圆锥的顶点为S，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为30°若△SAB的面积为，则该圆锥的体积为．三、解题：共分。解答应出文字说明证明过或演算步骤第17～21题为必题，每个试考生都须作答。第、23题为选考题，生根据求作答（）必考：共分。17分）记S为等差数列a}的前n项和，已知a=﹣7S=﹣．（1）求{a}的通项公式；（2）求S，并求S的最小值．18分）如图是某地区2000年至年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．3

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数（时间变量t的值依次为2…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t根据年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型②：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19分）如图，在三棱锥ABC中，AB=BC=2

，，为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．20分）设抛物线：y2

=4x的焦点为，过F且斜率为k（＞0的直线与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点AB且与C的准线相切的圆的方程．21分）已知函数x）x

﹣a（x2

+x+1（1）若a=3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（）只有一个零点．（二）考题：共分。请考生在、23题中任选一作答。果多做，则按所的第一题计。[选修：坐标系与参方程]（10分）22分直角坐标系中线C的参数方程为

为参数直线l的参数方程为

为参数4

（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线所得线段的中点坐标为（12l的斜率．[修45：不等式讲]（分）23．设函数f（x）﹣|x+|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（）≥0的解集；（2）若f（）≤1求的取值范围．5

年林高数试（科（全国课）参考答案与试题解析一、选题：本题共小题，每题分，共60分。在小题给的四个选项中，有一项是符题目要的。1分）i（2+3i）（）A．32iB．2i．﹣32iD﹣32i【解答】解：i（2+3i）=2i3i

2

=﹣2i．故选：D2分）已知集合A=1，3，5，7}，B={2，，45}，则AB=（）A．{3B．{．{3，D12，3，4，57}【解答】解：∵集合A=1，3，5，7}，B={，3，4，}，∴A∩B={3，5．故选：．3分）函数fx）

的图象大致为（）A．

B．

C．D6

5353【解答】解：函数f（﹣）==﹣

=﹣f（则函数f）为奇函数，图象关于原点对称，排除，当x=1时，f（=e＞0排除D当x→+∞时，fx）+∞，排C，故选：B．4分）已知向量，满足||=1，A．4B．．2D．

=1，则•2

）=（）【解答解向量，满足||=1

=﹣1则2

=2

﹣

=2+1=3，故选：B．5分）从名男同学和名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D0.3【解答】解合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C2

=10种，其中全是女生的有2=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生设2名男生为a，b3名女生为A，B，，则任选人的种数为，aA，aB，aC，bA，，Bc，AB，，共10种，其中全是女生为，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P=故选：D

=0.3，6分）双曲线（）

=1（＞0b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为7

A．y=±

xB．±

xC．±

xDy=±

x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==则=====

，，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±故选：A．

x，7分）在△ABC中，cos=

，BC=1，AC=5，则（）A．4．．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=BC=1，AC=5，则AB=

，cosC=2×=

=﹣，==4

．故选：A．8分）为计算S=1﹣+﹣+…+空白框中应填入（）

﹣，设计了如图的程序框图，则在A．i=i+1B．+C．i=i+3D．i=i+8

11111111111111111【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=NT=1﹣）+﹣）+…+（﹣累加步长是2，则在空白处应填入2．故选：B．9分）在正方体ABCD﹣BCD中，E为棱CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．

B．

．

D【解答】解：以为原点，DA为x轴，DC为轴，DD为轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣ABCD棱长为2则A（2000，10，0（0，2，=（﹣221

=（0，﹣20设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ=

=

=，sinθ=

=

，∴tanθ=

．∴异面直线AE与CD所成角的正切值为故选：．

．9

12122112122121221121221210分）若fx）=cosx﹣在[0，a]是减函数，则的最大值是（）A．

B．

．

．π【解答】解：f）=cosx﹣﹣（sinx﹣）=﹣

sinx﹣由﹣得﹣

+2kπ≤﹣+2kπ≤≤

≤+2kπ，∈Z，+2kπ，Z，取k=0，得f）的一个减区间为[﹣由f）在[0，a]是减函数，得a≤．

，]，则a的最大值是

．故选：．11）已知，是椭圆C的两个焦点，是C上的一点，若PF⊥PF，且∠PFF=60°，则C的离心率为（）A．1

B．

．

D﹣1【解答】解：F，F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若⊥PF，且∠PFF=60°，可得椭圆的焦点坐F（c，010

所以c，

c得：，可得，可得

﹣8e2

+4=0，e∈（01解得e=故选：D

．12分）已知（x是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足1﹣）=f（1+xf1=2，f1f（f3）+…+f50=（）A．﹣50B．．2D．50【解答】解：∵fx）是奇函数，且f1﹣x）=f（1+∴f1x）（x）=f（x﹣0）=0，则f+2）=﹣fxfx+=﹣f（+2）（x即函数f）是周期为4的周期函数，∵f1=2∴f2=f（=0，（3=f（﹣=f﹣=﹣f（=﹣f4=f（=0则f1f（f3）+f（=2+2+0=0，则f1f（f3）+…+f50）[f（）+f2f（f4）]+（49）+f50=f（f（=2+，故选：．11

二、填题：本题共小题，每题分，共分。13分）曲线y=2lnx在点（0处的切线方程为【解答】解：∵y=2lnx，∴y′=，当x=1时，y′=2∴曲线y=2lnx在点（1，处的切线方程为y=2x﹣2故答案为：y=2x﹣2

y=2x﹣2

．14分）若，y满足约束条件，则z=xy的最大值为

9

．【解答】解：由x，满足约束条件

作出可行域如图，化目标函数z=xy为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A54目标函数有最大值，为z=9．故答案为：9．15分）已知tan（）=，则tanα=

．12

nn13nnnn13111n1nnnnn13nnnn13111n1nnn【解答】解：∵tan﹣

）=，∴tan（

）=，则tan（α故答案为：．

+）=====，16分）已知圆锥的顶点为S，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为30°若△SAB的面积为，则该圆锥的体积为

8π

．【解答解：圆锥的顶点S，母SASB互相垂直，SAB的面积为，可得：，解得SA=4，SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为2

，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：V=

=8π．故答案为：8π．三、解题：共分。解答应出文字说明证明过或演算步骤第17～21题为必题，每个试考生都须作答。第、23题为选考题，生根据求作答（）必考：共分。17分）记S为等差数列a}的前n项和，已知a=﹣7S=﹣．（1）求{a}的通项公式；（2）求S，并求S的最小值．【解答】解∵等差数列{a}中，a=﹣，S=﹣15∴a=﹣7，3a3d=﹣，解得a=﹣7d=2，∴a=﹣72n﹣=2n﹣9；（2）∵a=﹣7，d=2，a=2n﹣9，∴S===n2﹣（﹣4）﹣∴当n=4时，前n项的和取得最小值为﹣16．13

18分）如图是某地区2000年至年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数（时间变量t的值依次为2…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t根据年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型②：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【解答】解根据模型①：=﹣30.4+13.5t，计算t=19时，=﹣+13.5×19=226.1；利用这个模型，求出该地区年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：=99+，计算t=9时，=99+×9=256.5利用这个模型求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠；因为从总体数据看地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上14

==V==V升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．19分）如图，在三棱锥ABC中，AB=BC=2

，，为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．【解答）证明：∵AB=BC=2

，AC=4，∴2+22，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，∵，∴△≌△POB≌△，∴∠POA=∠POB=∠，∴PO⊥AC，⊥OB，OB∩AC=0，∴⊥平面ABC；（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，

，在△COM中，OM=

=

．S

=×

×

=

，S

△

=．设点

C

到平面

POM

的距离为

d．由

V

P

﹣

C

﹣

，解得d=

，15

1122121212111112212121211111111112121∴点C到平面POM的距离为．20分）设抛物线：y2

=4x的焦点为，过F且斜率为k（＞0的直线与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点AB且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解方法一：抛物线C：2=4x的焦点为（10当直线的斜率不存在时，||=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（﹣1A（x，y（x，y则，整理得：2

x

﹣2（2

+2）x+2

=0则x+x=

，xx=1由||=x+x+p=∴直线l的方程y=x﹣

+2=8，解得k2

=1则k=1，方法二：抛物线C2

=4x的焦点为（1，直线AB的倾斜角为，由抛物线的弦长公式||=

==8，解得：sin

2

θ=，∴θ=

，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过AB分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别AB，设AB的中点为D过D作DD⊥准线l垂足为D，则|DD|=（|AA|+|BB|）由抛物线的定义可知：|AA|=|AF，|BB|=BF|，则r=DD|=4以AB为直径的圆与﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D由（1）可知：x+x，y+y=x+x﹣2=4则D32过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（﹣3）

+（﹣2）

=16．16

21分）已知函数x）x

﹣a（x2

+x+1（1）若a=3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（）只有一个零点．【解答】解当时，f（x）x3

﹣a（x2

+x+所以f′）=x2

﹣6x﹣3时，令f′x）解得x=3

，当x∈（﹣∞，2

∈（32

，+∞）时，f′（x）＞函数是增函数，当x∈（﹣2

时，f′）＜0函数是单调递减，综上上递减．

∞函数2（2）证明：因为x2

+x+1=（+）2

+

，所以f）=0等价于，令，则，所以g（x）在上是增函数；17

取x=max{9a，1}，则有