2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版答案解析)

112𝑛12𝑛1𝑛12𝑛12112𝑛12𝑛1𝑛12𝑛12𝑛2021高数真试（高卷一、选题：本题共小题，小题分，共分．在每小给出的个选项中，有一项是符题目要求的（共8题；共40分）复

2𝑖13𝑖

在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第象限

B.第二象限

第象限

第象限设合{1,3,6},，

（）A.{3}

B.{1,6}

抛线

2

2的点到直线𝑦1的离为2，（）A.12C.

2

4北三号全球卫星导航系统是我国航天事业重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地看作是一个球心为O半径r为的球，其上点的度是指𝑂𝐴与道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，卫星信号覆盖地球表面的表面积为2

2

(1（位：

），则占球表面积的百分比约为（）A.26%34%C.D.正棱台的上下面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为（）A.

203

B.

2

3

283某理量的测量结果服从正态分布

2

，列结论中不正确的是（）A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.越小，该物理量在一次测量中大于的概率为0.5越小，该物理量在一次测量中小于9.99与于10.01的概率相等越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与在(10,10.3)的率相等已

𝑏3,𝑐

12

，则下列判断正确的是（）A.

B.

已函数𝑓(的义域为，2)为函数，为函数，则（）A.

2

B.𝑓(1)

𝑓(2)

二、选题：本题共4小题，每小5分，共分．在每小题出的选中，有多项合题目要．全部选对得分，部分对的得分，有选的得0分．（共题；共20分）下统计量中，能度量样本𝑥,,,

的离散程度的是（）A.样,,𝑥样,,𝑥

的标准差的极差

B.样,,,𝑥样,,,

的中位数的平均数10.如图，在正方体中为面的中心，为在棱的中点MN为方体的顶点．则满足的是（）

𝑖1212，则𝑖1212，则A.B.D.11.已知直线𝑎

2

与圆𝑥

2

2

2

，点𝐴(，下列说法正确的是（）A.若A在C上，则直线l与C相若在C外，则直线l与圆C相

B.若点A在内，则直线与圆相若在直线l上，则直线与C相12.设正整数

⋅2

⋅2𝑘1𝑘−1

𝑘𝑘

，其中

，记1𝑘

．则（）A.

B.𝑛𝑛

𝜔(2

1)三、填题：本题共4小题，每小5分，共分．（共4题；共分）13.已知双曲线𝐶:

22

22

，心率，双曲线的近线方程________14.写出一个同时具有下列性质②的函数．①)；当𝑥时

′(；

′(

是奇函数．15.已知向量

|𝑎|1,|𝑏||2⋅𝑏⋅𝑎

．16.已知函数

1|,𝑥，数的象在点𝐴(,和点,的12112两条切线互相垂直，且分别交轴M，两点，则

𝑀|

取值范围是．四、解题：本题共6小题，共70分．解答应写出文说明证明过程或演步骤．共6题；共70分）17.记是公差不为的差数列{

的前项，若,2

．（）数列

的通项公式

；（）使

成立的n的最小值．18.在中角A，，所的边长分别为𝑏,1,2．（）2sin𝐴，的积；（）否存在整数，得为钝角三角?若在，求出a的值；若不存在，说明理由．19.在四棱锥中底面是方形，若𝑄𝑄

．

2222𝑎2222𝑎（）明：平平；（）二面角𝐵的面角的余弦值．20.已知椭圆C的方程为

𝑥𝑎

22

𝑦𝑏

22

𝑎𝑏，焦点为2,

，且离心率为

3

．（）椭圆C的程；（M，是椭圆上的两点，直线𝑀𝑁与线𝑥

𝑦2

𝑏2

𝑥>相．证明：，，三点共线的充要条件是|3．21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代经一次繁殖后为第代，再经过一次繁殖后为第代，该微生物每代繁殖个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表．示1个生个体繁殖下一代的个数，𝑃(𝑝，𝐸(；（）知2（p表该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率p是于x的程：𝑝𝑥+𝑝𝑥𝑥的个最小实根，求证：当时，𝐸(时；（）据你的解说明2）结论的实际含义．

𝑥3

22.已知函数𝑥)𝑥

𝑥

𝑎2

𝑏．（）论𝑥)的单调性；（）下面两条件中选一个，证明：𝑓(𝑥)有一个零点①

22

,𝑏>2𝑎

；②𝑎

2

,𝑏≤2𝑎

．

2𝑖2𝑖13𝑖55𝑖，表的点为，2𝑖2𝑖13𝑖55𝑖，表的点为，𝑖𝑈𝑝，则其直线x-y+1=0的距离为,222𝜋𝑟==答案解析部分一、选择题：本题共12小，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【案】【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：13𝑖13𝑖13𝑖10

1122

，位于一象限故答案为：【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可【案】【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】解：由题设可

，𝐶).𝑈故答案为：【分析】根据交集、补集的定义求解即.【案】【考点】点到直线的距离公式，抛物线的简单性质【解析解答解：抛物线的焦点坐标(

𝑝|1|

2

，解得p=2或p=-6(舍去，p=2.故答案为：【分析】根据抛物线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可【案】【考点】球的体积和表面积【解析：由题意可得S占球表面积的百分比约为：

21cos𝛼)1cos𝛼4𝜋2

64006400360002

≈0.42=42%故答案为：【分析】结合题意所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结【案】【考点】棱台的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积

12√21616所以棱台的体积12√21616所以棱台的体积333212因为该四棱台上下底面边长分别为，，侧棱长为，所以该棱台的高，下底面面积S=16，底面面积S=4，112812

故答案为：【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得【案】【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析【答】解：对于，为数据的方差，所小，数据在μ=10附越集中，所以测量结果落在（）的概率越大，故A正确；对于B，正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的率为0.5故B正；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理一次测量结果大于0.01的率与小于的率相等，故正确；对于，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）概率与落在）概率不同，故D错误故选：【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得.【案】【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】解：

√523558

，即a<c<b.故答案为：【分析】根据对数函数的单调性可比较、与c的大小关系，由此可得出结论【案】【考点】奇函数，偶函数，函数的周期性

【解析】【解答】解：因为为偶函数，则，得f(x+3)=f(1-x)，又因为为函数，则有f(1-2x)=-f(2x-1)，得f(1-x)=-f(x+1)，所以，f(x)=f(x+4)故函数的周期为T=4又因为函数F(x)=f(2x+1)是函数，则F(0)=f(1)=0故f(-1)=-f(1)=0故答案为：【分析】推导出函数是为期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，合已知条件可得出结.二、选择题：本题共4小，每小题5分共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分部分选对的得分有选错的得0分【案】【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：【分析】根据标准差，极差，中位数及平均数的定义与意义求解即.10.【答案】【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定【解析】【解答】解：对于，图1）示，连接AC，则MN//AC故POC（或其补角）为异面直线OP,MN所的.

在直角三角形OPC中

，，故

1

故不立，故A错误；对于B，图2）所示，取的中点，连接PQ,OQ，OQNT，，由正方体SBCM-NADT可SN平面ANDT，平ANDT，故，而SN，故平，又平面，OQMN，OQ∩PQ=O，所以MN平面OPQ，平OPQ故MNOP.故B正确；对于，图）示，

连接，BD//MN，的断可得BD故OPMN故C正；对于，如图4）所示，取的点，的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,OK则AC//MN，因为DP=PC，故PQ//AC，则所以或其补角为异面直线PO,MN所的角，因为正方体的棱长为2故

12

2,𝑂223

2

，则有2<PQ+OP故可能是直角，

2200001k01k01k01k01k01k故，OP不能垂直2200001k01k01k01k01k01k故D错误.故答案为：【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的误，平直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的误11.【答案】A,B,D【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意得圆心（0,0）到直线：ax+by-r2=0的

𝑎

𝑟2

2𝑏

2对于A若点在圆上，则a2=r，

𝑟𝑎𝑏

2

=||，则线l与C相，故A正确；对于B，点在圆内，则a+b

<r

2

，则

𝑎

𝑟2

2𝑏

2

|𝑟，则直线l与相，故B正；对于，点在圆C外则2+b>r

2

，则

𝑎

𝑟2

2𝑏

2

𝑟，则直线l与C相，故C错；对于，若点在直线l上则2+b

-r

2，即+b2=r

2

，则

𝑟𝑎𝑏

2

𝑟，则线l与相切，故D正确故答案为：【分析点与圆、点与直线的位置关系为a+b2

，

2

的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解12.【答案】A,C,D【考点】二项式定理，二项式定理的应用【解析】【解答】解：对于，𝑎

𝑎1

𝑎𝑘

，2𝑎

⋅1

𝑎⋅21

𝑎⋅𝑘𝑘1

𝑎⋅𝑘，2𝑘1则𝑎

𝑎1

𝑎𝑘

，故正；对于B，n=2，

0

2

，则ω(7)=3而

0+1·2

1

，则ω(2)=1，ω(7)，错误；对于，8n+5=a·2

+a·2

+……+a·2

k+3+5=1·2

+a·23+a·2

+……+a·2

所以ω(8n+5)=2+a+a+…+a4n+3=a·2

+a·2+…+a·2

k+2+3=1·2

+a·2

+a·23……+a·2

，所以ω(4n+3)=2+a+a+…+a所以ω(8n+5)=ω(4n+3)，C正；对于+2

+…n-1，所以故正.故答案为：【分析】利用ω(n)的定义可判断ACD选的正误，利用特殊值法可判断选项的正误.三、填空题：本题共4小，每小题5分共20分13.【答案】【考点】双曲线的简单性质

2𝑏𝑏𝑎𝑏121212221122𝑏𝑏𝑎𝑏121212221122-1AM1BN21·2121112|√11112524【解析【解答】解：

𝑐𝑎

√

𝑎

2𝑏2

2

√()2得，所以该曲线的渐近线方程𝑎√𝑎故答案为：√【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即.14.【答案】𝑓(𝑥)

2

(∈𝑅)答案不唯一【考点】幂函数的性质【解析】【解答】解：取f(x)=x2

，则f(xx)=xx2=f(x)f(x)，足；当x>0时，足；f'(x)=2x的定义域为R，且f'(-x)=2(-x)=-f'(x)故f'(x)=2x奇函数，满③.故答案为：2（）【分析】根据幂函数的性质直接求解即.15.【答案】

2【考点】向量的线性运算性质及几何意义，平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意(𝑎𝑏𝑐)，即

𝑏

2

𝑐22(𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)2(𝑏𝑎·𝑐𝑏·𝑐)，则·𝑏𝑎𝑐𝑏·𝑐

2故答案为：

2【分析】根据向量的运算法则直接求解即.16.【答案】(0,1)【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程，两点间距离公式的应用【解析】【解答】解：由题意()

,𝑥,)，(),𝑥

)

，所以点A(x,1-ex，B(x,exK=-ex

，=ex所以-exx=-1，+x=0，所y-1+e=-e(x-x，𝑒

1

1

1)所以|√

2

(

1

2√1

21|

，同理√1

22

所以|√1

22𝑥

12

12

√1√1

22

12

√

2𝑥

1

()故答案为：0,1）【分析】根据导数的几何意义可得+x=0，结合直线方及两点间距离公式求解即.四、解答题：本题共6小，共70分解答应写出文字说证过程或演算步骤．17.【答案】（）等数列的性质可得：𝑎

，则：𝑎5𝑎,𝑎，设等差数列的公差为，而：𝑎𝑎(𝑎𝑑)(𝑎

𝑑)

2

，𝑎4

𝑎2

𝑎

𝑎(𝑎2𝑑)(𝑑)𝑎4

(𝑑)−2，

𝑛1𝑛(𝑛2𝑛22，所以，为锐角，则√1𝑛1𝑛(𝑛2𝑛22，所以，为锐角，则√111eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐵222

2

，由于公差不为，故：2，数列的通项公式为：

𝑛3)2𝑛−6.3（）数列的项公式可得：𝑎

2，：𝑛22𝑛，𝑛则不等式

𝑛

即：𝑛

𝑛2𝑛，整理可得：𝑛−𝑛，解得：𝑛1或𝑛，又𝑛为正整数，故𝑛的最小值为7.【考点】二次函数在闭区间上的最值，等差数列的通项公式，等差数列的前n项，等差数列的性质【解析】【分析】根等差数列的通项公式及性质直接求解即可；(2)首求得前项的表达式，然后求解二次不等式即可确定的最小.18.【答案】（）为𝐶，23，则，𝑏，𝑐，

2

2

2

1788

，因此，22

157

；（）然，为钝角三角形，则为角，由余弦定理可得𝐶

2

2

2

2

𝑎+1)𝑎+2)2

2

−2𝑎−32

，解得，，由三角形三边关系可得2，可得1，，故.【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】1由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得、的，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB再利用三角形的面积公式可求得结果；（）析可知角为钝角，由cosC<0结三角形边关系可求得整数a的值19.【答案】（）的点为𝑂，接.因为𝑄，，，而𝐴𝑄

，故𝑄5−12

.在正方形中因为𝐴2，故1，𝐶5

，因为𝑄3，故

2

2

2

，故为角三角形且，因为𝑂𝐴，平面𝐴𝐵𝐶𝐷，因为𝑄平，平平𝐴𝐵.（）平面𝐷内，过作

，交于，𝑂，结合（）的平面，故可建如图所示的空间坐标.

362362则，设平面的法向量，

.则{即{

，取，，.故而平面的向量为，

〈

32

.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为

3

.【考点直与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角平面角及求法【解析】【分析】1根据直线与平面垂直的判定定理，结合平面与平面垂直的判定定理求证即可；（）用向量直接求解即.20.【答案】（）题，椭圆半焦距

且

，所以𝑎3𝑎3

，又𝑏

，以椭圆方程为

3

；（）（）得，曲线为

，当直线的率不存在时，直线𝑀，不合题意；当直线的率存在时，设,𝑥,𝑦，必要性：若M，，三共线，可设直线

即2

，由直线与线𝑥

2𝑥相切可得

，解得，

33，所以21+323333333，所以21+32333333

可得√3,⋅𝑥

，所以|

)2⋅3

,所以必要性成立；充分性：设直线即𝑥𝑏，由直线与线𝑥

𝑥相切可得

，所以𝑏

，联立23

可得

32，,⋅，所以𝑥21+3所以|⋅2⋅𝑥

1+3

2

2

31+32

1+3

22

3

，化简得

，所以，所以{或

，所以直线𝑀2

或2

，所以直线过

，，，三共线，分性成立；所以M，，F三共线的充要条件是3．【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质【解析】【分析】1根据椭圆的几何性质，结合椭圆的标准方程直接求解即可；（）要性：三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可；充分性：设直线：，由直与圆相切得b=k求解.

+1，联立直与椭圆方程结合弦长公式即可21.【答案】（）3.（）𝑓(

3

，因为𝑝，

3

3

，若𝐸(，3，故

.′(333

，因为′，′，33故𝑓

′(

有两个不同零点𝑥

，且

，且𝑥,,

时，

′；𝑥,时，

′；故𝑓(在∞,

，,∞

上为增函数，在,上减函数，若𝑥

，因为在,∞为函数且，而当𝑥

时因为𝑓(在(,上减函数，故，故为

3

3

的一个最小正实根，

2232333343433223233334343342

，为且在上减函数，故为22

2

3

3

的一个最小正实根，综上，若，.若𝐸(，23，故

.此时𝑓

′，𝑓23

′，23故𝑓

′(

有两个不同零点,

，且𝑥

，4且𝑥,,∞时，

′；𝑥时

′；故𝑓(在∞,

，(,∞上为增函数，在上减函数，4而，𝑓(

4

，又

，𝑓(在存在一个零点𝑝，.4所以𝑝为

2

3

3

的个最小正实根，此时𝑝，故当𝐸(时.（每个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝若繁殖后代的平均数超过，若干代后被灭绝的概率小于【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】1利用公式计算可得E(X