高考数学最后冲刺专题讲座：必修一 第二章 基本初等函数

高考数学冲刺讲义(必修一)一线数学特级教师倾情奉献！专题纲目知识体系例3(必修1)第二章基本初等函数(Ⅰ)第5讲指数、指数函数与幂函数理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象.1.(1)化简:(2)0+2-2·(2)-(0.01)0.5=

.(2)=

.333===.(1)(2)0+2-2·(2)-(0.01)0.5=1+()-()=1+-=.(2)=33333(-∞,-2)2函数f(x)=a-2x的图象经过原点，则不等式f(x)>的解集是

.由f(x)的图象经过原点知a=1，所以f(x)=1-2x>2x<x<-2.设f(x)=xn过点（-2，-）,得(-2)n=-n=-3f(x)=x-3=27x=.3幂函数y=f(x)的图象经过点（-2，-1/8)，则满足f(x)=27的x的值是

.4.设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则()A.y3>y2>y1B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2D幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.又因为y=2x在R上是单调增函数，1.8>1.5>1.44,所以y1>y3>y2.函数f(x)要在R上是增函数2-a>0

a>1

a≥2-a+1(2-a)x+1(x<1)

ax(x≥1),且f(x)是R上的增函数,AA.[,2)B.(1,)C.(1,2)D.(1,+∞)≤a<2.5.已知f(x)=那么a的取值范围是()1.根式(1)一般的,如果xn=a,那么x叫做a的①

.

（n>1且n∈N*），当n为奇数时，正数的n次方根是一个②

,负数的n次方根是一个③

.这时a的n次方根记为④

;当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，可用符号⑤

表示，其中叫做⑥

,这里的n叫做⑦

,a叫做⑧

.nn次方根正数负数±n根式根指数被开方数n(2)当n为奇数时，=a;当n为偶数时,=⑨

=2.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是:=⑩

(a>0,m、n∈N*,n>1).(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规定=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.n|a|n11a(a≥0)-a(a<0).1mnan3.有理数指数幂的性质(1)aras=

(a>0,r、s∈Q);(2)(ar)s=

(a>0,r、s∈Q);(3)(ab)r=

(a>0,b>0,r∈Q).4.指数函数及性质(1)一般的,函数

(a>0,且a≠１)叫做指数函数,其中x是

,函数的定义域是

.121314ar+sarsarbr151617y=ax自变量RCtrl+Alt+M=菜单栏；Ctrl+Alt+T=工具栏；Ctrl+Alt+S=滚动条；Ctrl+Alt+H=窗口；Ctrl+Alt+B=背景（２）指数函数y=ax的图象与性质如下表：a>10<a<1图象定义域(-∞,+∞)值域{y|y>0}5.幂函数的定义一般的说，型如

的函数叫幂函数,其中x是自变量，α是常数.对于幂函数，我们只讨论α=1,2,3,,-1时的情形.性质过定点(0,1)当x>0时,

;当x<0时，

.当x>0时,

;当x<0时，

.在(-∞,+∞)上是

.在(-∞,+∞)上是

.18192021y>10<y<10<y<1y>12223增函数减函数24y=xαCtrl+Alt+M=菜单栏；Ctrl+Alt+T=工具栏；Ctrl+Alt+S=滚动条；Ctrl+Alt+H=窗口；Ctrl+Alt+B=背景6.幂函数的性质所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，且图象都过(1,1)点.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.一般的,当α>0时,幂函数y=xα有下列性质：(1)图象都通过点

;(2)在第一象限内,函数值

;(3)在第一象限内，当α>1时，图象是向下凸的;当0<α<1时,图象是向上凸的；2526(0,0),(1,1)随x的增大而增大(4)在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：(1)图象都通过点

;(2)在第一象限内,函数值

;(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近.2728(1，1)随x的增大而减小题型一指数函数的性质例1求下列函数的定义域、值域并判断单调性.

(1)y=();

(2)y=()-|x|.6+x-2x2因为二次函数u=6+x-2x2=-2(x-)2+,所以函数的值域为{y|y≥()}.又因为二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,在［,+∞）上u=6+x-2x2是减函数，在(-∞,］上是增函数，又函数y=()u是减函数，所以y=()6+x-2x2在［,+∞)上是增函数，在(-∞,］上是减函数.利用换元法，化为基本函数求解.(1)函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=()u.(2)定义域为x∈R.因为|x|≥0，所以y=()-|x|=()|x|≥()0=1.故y=()-|x|的值域为{y|y≥１}.又因为y=()-|x|是偶函数，()x(x>0)()x(x<0),所以函数y=()-|x|在(-∞,0］上是减函数，在［0,+∞)上是增函数.(此题可借助图象思考)且y=()-|x|=合函数的值域可采用换元法，结合中间变量的范围求函数的值域；复合函数y=f(x)的单调性要根据y=au,u=f(x)两函数在相应区间上的单调性确定，遵循“同增异减”的规律.题型二幂函数的性质例2已知幂函数f(x)=xm2-m-2(m∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数,求函数f(x)的解析式,并讨论

g(x)=a-(x(a、b∈R)的奇偶性.利用幂函数的定义和性质求解析式，根据奇偶性的定义判断奇偶性.由题意可知,m2-m-2是偶数,且m2-m-2<0,即-1<m<2.又因为m∈Z,所以m=0,1.此时m2-m-2=-2,故f(x)=x-2.于是g(x)=-bx,g(-x)=+bx.当a≠0且b≠0时,g(x)为非奇非偶函数；当a＝0且b≠0时,g(x)为奇函数；当a≠0且b＝0时,g(x)为偶函数；当a＝0且b＝0时,g(x)既为奇函数又为偶函数.题型三幂、指数函数的综合问题例3若直线y=2a与y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a∈

；

{a|0<a<}数形结合法.当a>1时，作图知无解；当0<a<1时,作图知0<2a<10<a<.1.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算.在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序.2.指数函数y=ax的底数须满足条件a>0且a≠１，研究几个指数函数尽量化为同底.3.指数函数的性质主要是单调性,比较大小是单调性的一个重要应用，比较时注意底数与１的大小分类讨论.(1)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性来比较；(2)若底数、指数均不相同，则可引入中间量或画图象来比较.4.利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型,应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用.课后再做好复习巩固.谢谢！再见！第6讲对数与对数函数(必修1)第二章基本初等函数(Ⅰ)理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数.1.log2sin+log2cos的值为()DA.-4B.4C.2D.-22.函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则f(x12)-f(x22)等于()AA.2B.1C.12D.loga2由f(x)=logax知f(x12)-f(x22)=2[f(x1)-f(x2)]=2.3.函数y=log(x2-2x)的定义域是

,单调递减区间是

.(2,+∞)(-∞,0)∪(2,+∞)4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值是

.由已知得,a0+loga1+a1+loga2=aloga2=-1a=.5.已知f(x)=|log3x|，则下列不等式成立的是()CA.f()>f(2)B.f()>f(3)C.f()>f()D.f(2)>f(3)作函数f(x)=|log3x|的图象，可知f(x)在（0，1）上单调递减，选C.1.对数(1)一般的，如果ax=N(a>0且a≠１)，那么数x叫做①

，记作②

,其中a叫做对数的③

,N叫做④

.(2)以10为底的对数叫做⑤

,记作⑥

.(3)以e为底的对数叫做⑦

,记作⑧

.以a为底N的对数x=logaN底数真数常用对数lgN自然对数lnN(4)负数和零没有对数;loga1=⑨

,logaa=⑩

.2.对数的运算性质(1)如果a>0且a≠１,M>0,N>0,那么①loga(M·N)=

;②loga=

;③logaMn=

.01111213logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM①logab=(a>0且a≠１,c>0且c≠１,b>0);②alogaN=N(a>0且a≠１)；③loganbm=logab(a>0且a≠１,m、n∈N*).3.对数函数一般的,我们把函数

(a>0且a≠１)叫做对数函数,其中x是自变量，函数的定义域为

.14y=logax(0,+∞)15(2)对数的换底公式及恒等式4.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域{x|x>0}值域{y|y∈R}性质当x=1时，y=0,即过定点(1,0)当x>1时,

;当0<x<1时,

.当x>1时,

;当0<x<1时,

.在(0，+∞)上是

.在(0，+∞)上是

.16171819y>02021增函数减函数y<0y<0y>05.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠１)与对数函数y=logax(a>0且a≠１)互为

,它们的图象关于直线

对称，指数函数y=ax(a>0且a≠１)的定义域为{x|x∈R}，值域为{y|y>0},对数函数y=logax(a>0且a≠１)的定义域为{x|x>0}，值域为{y|y∈R}.反函数2223y=x题型一指数、对数函数的运算问题例1指数、对数函数的运算问题()x

(x≥4)

f(x+1)(x<4),则f(log23)=

;(2)设3a=4b=36,则+=

.(1)设函数f(x)=1

（1）因为log23<2，所以f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=

f(3+log23)=()3+log23=()3·()log23=×=.（2）由3a=4b=36得a=log336,b=log436,再根据换底公式得

a=log336=,b=log436=.所以+=2log363+log364=log36(32×4)=1.已知函数f(x)=lg(k∈R且k>0)，若函数f(x)在［10,+∞)上单调递增，求k的取值范围.题型二对数函数的性质问题例2这是一道含参数的对数结构的复合函数问题，根据函数f(x)的增减性，分析出真数的范围，转化为对数函数的大小比较问题.因为函数f(x)在［10,+∞)上单调递增,所以>0，即k>.又f(x)=lg=lg(k+),对任意的x1、x2,当10≤x1<x2时,有f(x1)<f(x2),即lg(k+)<lg(k+),得<,即(k-1)(-)<0,又因为>,所以k<1.故k的取值范围为(,1).110题型三指数、对数函数的综合问题例3设f(x)=log为奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在(1,+∞)内单调递增；（3）若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>()x+m恒成立，求实数m的取值范围.

(1)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)log=-log=>01-a2x2=1-x2a±1.经检验，a=-1（a=1舍去）.（2）定义法.任取x1>x2>1，所以x1-1>x2-1>0，所以0<<<log>log,即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在（1，+∞)上单调递增.（3）对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>()x+m恒成立f(x)-()x>m恒成立.令g(x)=f(x)-()x，由（2）知，g(x)在[3,4]上是单调递增函数，所以m<g(3)=-,即m的取值范围是(-∞,-).1.比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与１比较.2.把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函数的常见题型.3.解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论.课后再做好复习巩固.谢谢！再见！第7讲函数的图像(必修1)第二章基本初等函数(Ⅰ)掌握基本函数图象的作法——描点法和图象变换法；会运用函数图象，理解研究函数的性质；会看图得到相关信息，即学会作图、识图、用图.1.函数y=(0<a<1)的图象大致是()Dax(x>0)-ax(x<0)(0<a<1)，选D.y=2.下列函数图象中，正确的是()C对A、B,由y=x+a,知a>1,可知A、B图象不正确;对D,由y=x+a知0<a<1,所以y=logax应为减函数，D错，故选C.3.函数y=的图象大致是()B由函数y=的图象向左平移一个单位长度可得.4.函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()CA.f(x)=x+sinxB.f(x)=C.f(x)=xcosxD.f(x)=x·(x-)·(x-)由图象关于原点对称，且在原点有定义，故原函数为奇函数，且f(0)=0,排除B.又观察图象f(-)=0，排除A、D.故选C.5.方程lgx=sinx的实根有()CA.1个B.２个C.３个D.无穷多个在同一坐标下作出函数y=lgx和y=sinx的图象，注意到lg10=1，由图象易得原方程的实根个数是3.1.基本函数的图象要熟记：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及常用函数：y=,y=x+.(图象略)2.函数图象的基本作法有两种:①

和②

.描点法图象变换法(1)描点法作图的基本步骤是：③

、④

、⑤

.画函数图象时有时也可利用函数的性质如⑥

.

以及图象上的特殊点、线（如对称轴、渐近线等）(2)图象的变换是指⑦.

.在高考中要求学生掌握的三种变换是：⑧

.单调性、奇偶性、对称性、周期性等一个函数的图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象平移变换、对称变换和伸缩变换列表描点连线

3.常用函数图象变换的规律.(1)平移变换：y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x±a)的图象;y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移k(k>0)个单位长度得到函数y=f(x)±k.(2)对称变换:y=f(x)与y=f(-x)的图象关于⑨

对称：y=f(x)与y=-f(x)的图象关于⑩

对称；y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于

对称：y=|f(x)|的图象可将函数y=f(x)的图象在.

,其余部分不变；y=f(|x|)的图象可将函数y=f(x)的图象在x≥0的部分作出,再用.

,作出x<0的图象.y轴x轴11原点x轴下方的部分以x轴为对12称轴翻折到x轴上方13偶函数的图象关于y轴对称(3)伸缩变换:y=kf(x)(k>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点.

的而得到.y=f(ωx)(ω>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点的.得到.(4)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象关于.对称,y=f(a+x)与y=(b-x)的图象关于.对称.14纵坐标变为原来的k倍，横坐标不变15横坐标变为原来的,纵坐标不变15x=015x=题型一函数图象的变换例1作出下列函数的大致图象：(1)y=|x-2|(x+1);(2)

y=；(3)y=|lg|x||.这几个函数的图象均可由最基本的函数图象经过几种变换得到.

(1)函数的定义域为实数集R,(x-)2-(x≥２)-(x-)2+(x<2)，由二次函数的图象经过变换作出其图象,如图甲.y=｜x-2｜(x+1)=(2)函数的定义域为{x|x∈R,且x≠-１}，因为函数y==,因此由y=的图象向左平移一个单位长度，向下平移一个单位长度即可得到函数y=的图象.对分子、分母都是一次的分式函数，它的图象特点是有一个对称中心,有两条渐近线,可通过分离常数的方法求解，如图乙.(3)函数的定义域是{x|x≠0，x∈R}，先作y=lgx关于y轴对称的图象，得到y=lg(-x)，共同组成y=lg|x|的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y=|lg|x||的图象，如图丙.0“由式作图”这是高考中常见的一类的问题，解决这类问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象.另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质（如单调性、奇偶性、对称性、周期性等），以此帮助分析函数的图象特征.其基本步骤：①求出函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质；④利用基本函数的图象画出所给函数的图象.题型二利用函数图象研究函数性质例2

（1）已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x)的图象如图所示，对于满足0<x1<x