2017-2021北京朝阳高一（上）期末数学汇编：函数的基本性质章节综合

12/122017-2021北京朝阳高一（上）期末数学汇编函数的基本性质章节综合一、单选题1．（2020·北京朝阳·高一期末）已知函数，，在同一平面直角坐标系里，函数与的图像在轴右侧有两个交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2019·北京朝阳·高一期末）设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是A． B．C． D．3．（2019·北京朝阳·高一期末）给出以下四个方程：；；；其中有唯一解的是A． B． C． D．4．（2018·北京朝阳·高一期末）设奇函数的定义域为，且，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是A． B． C． D．5．（2021·北京朝阳·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．二、双空题6．（2021·北京朝阳·高一期末）已知函数.①当时，的值域为______；②若对于任意，，，的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数的取值范围是______.三、解答题

7．（2019·北京朝阳·高一期末）如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．Ⅰ已知函数，其中且，，．当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；证明：当，时，函数不存在等域区间；Ⅱ判断函数是否存在等域区间？若存在，写出该函数的一个等域区间；若不存在，请说明理由．8．（2019·北京朝阳·高一期末）已知函数，．Ⅰ当时，求的最大值；Ⅱ若函数为偶函数，求m的值；Ⅲ设函数，若对任意，总有，使得，求m的取值范围．9．（2021·北京朝阳·高一期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设函数.（i）证明函数的图象关于点对称；（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.10．（2020·北京朝阳·高一期末）已知函数（）.（1）若，求的值；（2）若，用函数单调性定义证明在上单调递减；（3）设，若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.11．（2021·北京朝阳·高一期末）设函数，且.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；（Ⅲ）若关于的方程恰有三个实数解，写出实数的取值范围（不必证明）.

参考答案1．B【解析】函数与的图像在轴右侧有两个交点等价于在上有两个不同的实数解，令，可判断在上为减函数，在上为增函数，利用零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】令.设，则，因为，故，，故即，所以当时，为减函数，同理可证：当时，为增函数.由，可得：当时，为增函数；当时，为增函数.故在上为减函数，在上为增函数.因为函数与的图像在轴右侧有两个交点，所以在上有两个不同的实数解，所以即，故.又当时，，设较大的解为，当时，，故，又当时，，故，由零点存在定理可知，在，上各有一个零点.综上，实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点，注意函数零点的个数判断需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，后者需要在一个单调区间内找两个函数值异号的点，如果找点比较麻烦，可以利用常见函数的性质放缩后再判断函数值的符号，本题属于难题.2．D【分析】令，即可求解，令，，即可求出，令，，可得结论，令，，.【详解】由题意，令，可得，，，故A正确，令，，可得，，故B正确令，，可得，，；，，故C正确，令，，可得，，故D错误，故选D．【点睛】本题考查抽象函数问题，考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，同时也考查了学生解决探索性问题的能力，属于中档题.3．B【分析】由方程与函数的关系，将方程问题转化为函数问题，再利用函数的增减性，奇偶性，函数零点存在性定理解题即可.【详解】设，易知：为增函数，又，故有唯一解，设，易知：为增函数，又，，由函数零点定理可得：有唯一解，设，易知：为增函数，由，，由函数零点定理可得：有唯一零点，又为偶函数，则有两个解，因为，，当且仅当时，即有唯一解，综合得：有唯一解的是，故选B．【点睛】本题考查了方程与函数的转化及函数的增减性、奇偶性，函数零点存在性定理，属中档题．4．C【详解】求解不等式可得，结合奇函数的性质补全函数图象如图所示，观察可得，不等式的解集为：.本题选择C选项.5．A【解析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.【详解】对A，根据正弦函数的性质可得是奇函数，在单调递增，故A正确；对B，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；对C，在单调递递减，故C错误；对D，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.故选：A.6．；.【解析】①当时，先利用分离常数法整理函数，再利用逐步计算，即得值域；②先分析知+恒成立，再利用定义法讨论函数单调性，并结合单调性求得值域，根据恒成立关系列关于参数的不等关系，解得参数范围即可.【详解】①当时，函数，定义域为R，由知，，则，即，故，的值域为；②依题意，作为某一个三角形的三边长，+恒成立，函数，定义域为R，任取，则，由可知，即，故，当，即时，，即，在R上单调递减，又，则，，即的值域为，故，则，又，要使+恒成立，则需，故的取值范围是；当，即时，，+，，显然+恒成立，故符合题意；当，即时，，即，在R上单调递增，又，则，，即的值域为，故，，要使+恒成立，则，即，故的取值范围是；综上所述：的取值范围是.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于讨论函数的单调性来确定值域，才能将+恒成立的问题转化到取值范围上，以突破难点.7．(Ⅰ)；见证明；(Ⅱ)见解析【分析】Ⅰ当时，若函数是上的等域函数，根据函数的单调性，建立方程关系，进行求解即可；当，时，根据等域区间的定义建立方程关系，进行判断；Ⅱ结合函数的单调性，建立方程关系进行判断即可．【详解】Ⅰ已知函数，其中且，，．当时，若函数是上的等域函数，当时，为增函数，则，得，此时当时，为减函数，则，得，不满足条件．即；证明：当，时，，即，则为减函数，假设函数存在等域区间，则，两式作差得，即，，，，，，则，等式不成立，即函数不存在等域区间；Ⅱ函数不存在等域区间，证明假设函数存在等域区间，则，即，两式作差得，即，即函数过，的割线斜率等于4，为减函数，任意两点的割线斜率为负数，故不成立，即不存在等域区间．【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合等域区间的定义建立方程组关系，结合函数单调性的性质是解决本题的关键．8．（Ⅰ）2（Ⅱ）-2（Ⅲ）【分析】Ⅰ代入m的值，求出函数的最大值即可；Ⅱ根据偶函数图象关于y轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m的值；Ⅲ求解的值域M和的值域N，可得，即可求解实数m的取值范围．【详解】Ⅰ时，，故的最大值是2；Ⅱ函数，为偶函数，可得，可得即实数m的值为；（Ⅲ)，，那么的值域．当时，总有，使得，转化为函数的值域是的值域的子集；即：当时，函数，其对称轴，当时，即，可得；；此时无解．当时，即可得；或m；可得：当时，即，可得；；此时无解．综上可得实数m的取值范围为．【点睛】本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题．9．（Ⅰ）4（Ⅱ）（i）证明见详解；（ii）【解析】（Ⅰ）计算，令，即求.（Ⅱ）（i）计算，由新定义即可证明；（ii）求出的值域，设在上的值域为，存在与恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出，结合集合的包含关系即可求出范围.【详解】（Ⅰ）由题意，若函数的图象关于点对称，则，令，可得.（Ⅱ）（i）由，，所以函数的图象关于点对称.（ii），函数在上单调递增，所以，不妨设在上的值域为，对任意，总存在，使得成立，则，当时，，且，当时，即，函数在上单调递增，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递增，由，，所以，，由，可得，解得，当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，结合对称性可得或，，，又，，，又，，当，成立；当，即时，在上单调递减，所以在上单调递减，由，，所以，，由，可得，解得，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，考查了二次函数的最值以及函数对称性，解题的关键是将问题转化为两函数值域的包含关系，考查了任意性、存在性问题，同时考查了分类讨论的思想以及转化与化归的思想.10．（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）由可直接求出的值；（2）当时，可利用单调性定义可证明在上单调递减；（3）函数在上有唯一零点等价于在上有唯一零点（不是函数的零点），后者可结合函数图像得到实数满足的不等式组，从而得到实数的取值范围.【详解】（1）由可得，得.（2），且，则，因为，，所以，即.所以在内单调递减.（3）因为在有唯一零点，故在上有唯一零点且不是函数的零点.又，故.因为的图象的对称轴方程为，故.因为在上有唯一零点，故或者，即或，故或.所以的取值范围是.【点睛】本题考查函数单调性的证明以及二次函数的零点，注意一元二次的根分布问题，一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则.（1）由图列式指根据一元二次方程的解的状况画出对应的二次函数图像的草图，从二次函数的开口方向、判别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组；（2）动态检验指让图像上下二元平移，看判别式的条件是否多余或者缺失，