2021全国高一（上）期中数学汇编：数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点

第9页/共9页2021全国高一（上）期中数学汇编数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点一、单选题1．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分超过500元的部分若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为A．1500元 B．1550元 C．1750元 D．1800元2．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（

）A． B． C． D．二、填空题3．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（）与其运费（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为______.4．某商品以每件3元的价格出售时，销售量为8万件.经过调查，单价每提高0.1元，销售量减少2000件，要使该商品销售总收入不少于24.48元，该商品单价的定价（元）范围是___________.三、解答题5．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

6．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．7．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．8．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f(x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f(x)75恒成立;恒成立．(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．9．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？10．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(百元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为）(2)该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？11．某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：(1)将利润（单位：元）表示成月产量x的函数(2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）

参考答案1．A【分析】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，可得到获得的折扣金额元与购物总金额元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．【详解】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，由题设可知：，因为，所以，所以，解得，故此人购物实际所付金额为（元），故选A．【点睛】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．2．A【分析】先写出用水量与电费发函数关系，再解方程.【详解】设该职工用水时，缴纳的水费为元，由题意得，则，解得.答：该职工这个月实际用水为.故选：A【点睛】解应用题关键是找出变量之间的关系，列方程求解未知量.3．19【详解】由直线图可知行李重量超出部分每10千克运费为300元∴超出部分每千克为30元设免费可携带行李的最大重量为，运费为，携带行李重量为，可得把代入可知所以答案为4．##【分析】设定价元，销量为万件，结合题设列一元二次不等式求解集，进而确定定价范围.【详解】设定价元，则销量为万件，由题意，，解得.∴定价区间为.故答案为：.5．（1）（2）3333辆/小时【详解】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（2）依题并由（1）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（1）函数v（x）的表达式（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．6．（1）炮的最大射程是10千米．（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．【详解】试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解试题解析：（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．考点：函数模型的选择与应用7．（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元．【分析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可；（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可.【详解】（1）当，时，．当，时，．．（2）当，时，，当时，取得最大值（万元）当，时，当且仅当，即时等号成立．即时，取得最大值万元．综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元．8．(1)函数模型，不符合公司要求,详见解析(2)[1，2]【分析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a的范围，取交集即可.【详解】(1)对于函数模型,当x∈[25,1600]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)≤f(1600)≤75,显然恒成立，若函数恒成立，即,解得x≥60．∴不恒成立，综上所述，函数模型，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型，不符合公司要求．(2)当x∈[25，1600]时，单调递增，∴最大值∴设恒成立，∴恒成立，即,∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4∵a≥1,∴1≤a≤2,故a的取值范围为[1，2]【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.9．（1），，；（2）从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.【分析】（1）由题意，根据分段函数与二次函数的图像，分别求出函数解析式即可；（2）设上市时间为时的纯收益为，根据题意，由（1）的结果得到，分别求出每一段的最大值，即可得出结果.【详解】（1）由图1可得，当时，；当时，，即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；由图2，设对应的二次函数解析式为，又该函数过点，所以，解得，则，；（2）设上市时间为时的纯收益为，则由题意，得，即，当时，，当时，取得最大值；当时，，当时，取得最大值.综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.【点睛】本题主要考查二次函数模型与分段函数模型的应用，属于常考题型.10．(1)400吨(2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为，显然，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）对称轴函数在[400，600]单调递增当时，当时，答：该单位每月处理成本的最小值800百元，最大值1400百元.11．(1)(2)当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000【分析】（1）根据题意建立函数关系式，写出分段函数形式；（2）分别求各段的最大值，即可求出公司利润最大值及取最大值时的产量.（