成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)

高数二重识解80分右）Ⅰ、函、限一、基初等函数(称简单数)：（1函数y

（2数y

a

（3数函数y

x

(且（4）对数函数：

ylogxa

(

〉0,

且（5）三角函数：

yx

，ycosx

，

yx

，

ycot（6）反三角函数：

yx，arccos，x，arc二、复函数：

要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例：

yx

是由

y

，

cos

这两个个简单函数复合而.例：

yarctan

3

是由

y

，

和

v

这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极的计算1、用函数续性求极限代入法对于一般的极限式（即非未定式将x代0入到函数表达式中，函数值即是极限值，即

lim()()0xx

。注）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即

l

。（2）该方法的使用前提是当

xx0

的时候，而则不能用此方法。例：

lim

，

lim

，

limlg2lg，lim

，x

xx

例：

limx0

x

2

02•x例：

x

tan(2tan1x

（非特殊角的三角函数值不用计算出来）2未定式极限运算法0（1）于未式分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0极限值。

x0

代入后函数值即是例：计

limx3

xx

0………未式，提取公因式0/

=lim==lim=解：原式

lim

(3)x

lim(3)例：计

limx1

x

2

x

0.……未定式，提取公因式0解：原式

lim1

（2）于

未式分子、分母同时以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例：计

limn

2n

………

未定式，分子分母同时除以n解：原式

3

………无穷大倒数是无穷小例：计

limx

xx

23

x2

.……

未定式，分子分母同除以

解原式

lim

2xx

=

02

………无穷大倒数是无穷小因分子是0分是23利用等价无小的代求极限（1）义设和同一变化过程中的两个无穷小，如果

lim

=1，与是等价无穷小，记作

～

.（2）理设、

、

、

均为无穷小，又～

，

～

，且

lim

存在则

lim

=lim或lim

•

（3）用等无小换当0时，sin～x～x例：当

x0

时，

sinx

～2

x

，

)

～

例：极

lim0

sin2x2x22===……505x5

sin

用2

x

等价代换tan3例：极lim=lim=lim0xxx

………tanx用x等价代换/

x'1'x2x'1'x2Ⅱ、一函的微分一、导的表示符号（1）函数

f(x)

在点

0

处的导数记作：0

，

'

x

或

dydx

x（2）函数

f(x)

在区间（）的导数记作：f'()

，

y

或

dydx二、求公式（须记）（1）

()'

（C为常数）（2）

('

x

（3）

(e

x

)

x

（4）

(ln)

1x（5）

)

cosx

）

)

x（7）

x

'

11

2

）

(arctan)

11

2例1、

x

2

、

1

12

3、=04、5、

6、

x

'

三、导的四则运算运算公

（U，V是关X的函数求时已题中函代公中U和V即可代后导公求.（1）

()''（2）

•)

'v'特地)Cu'

（C为数）（3）

'v()'v2

例：已函数

y43cosx，'

.解：y'=

=

x

3

=x

3

3sinx例：已函数

f()xx

，求

f'()

和

f'()

./

''=''''''=''''解：

f

(x=

lnx

2

x

2

1x

=

2x所以

f

(e)

=

e2ee

（注意lne=1,ln1=0）例：已函数

f(x)

x1

2

，求

f'()

.解：

f'(x)

=

=

12四、复函数的求导1方法一：例复合函数

yx

2

的导数（1）先断复函是哪个单函复而的如

yx

2

由

y

和

2

这两个简单函数复合而成（2）导公求每简函的数.即

dydu=u，=2du

（3每个简函导的积为合数导注中变要原变

替回.∴

dydydu•=2cos=2xcosdxdu

22方法二直接求法：复函的数等构成复函的单数数乘。如果导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函从往求.例：设数

y)

，求

y

.解：

y

=)·(

=

)

·

(

=

3sin(例：设数

y

ln

，求y'.解：

y

=

·

x)

=

1x

lnx：一个复合函数求几次，取决于它由几个简单函数复合而成。五、高导数1二阶导数记：，()

或

dx

y2我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导2求法（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导/

（2）三阶导数就是对一阶导数两次导，对二阶导求一次导例：已

y

，求

.解：∵

y

=

x

，∴

=

x例：已

y

2

，求

y

''

x

.解：∵

'

=

2x

=

2

，∴

=2

2x

=4

2x即

y

''

x

=

六、微的求法：（1）求出函数

fx

的导数

f'()

.（2）再乘以

即可.即

dyf()

.例：已

yx

2

，求.解：∵

y

=

2

=

1==x2∴

dy

=

2x

例：设数

y

4

x，求dy.解：∵y'=

cosx

4

xx

3

cosx

4

∴=/

．．．．．．．x00．．．．．．．x00Ⅲ、二函的微分一、多函数的定义

由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函。其自变量的变化范围称为定义，常记作。例如：二元函数通常记作：

(x,)

，

(x)二、二函数的偏导1偏导数的表方法：（1）设二元函数

zf,y)

，则函数

z

在区域D内

x

和对y

的偏导数记为：

，

f

'

(x,)，'；

，

f

'

(x,)，

'

（2）设二元函数

zf,y)

，则函数点y00

处对x对的导数记为：

y

，

f

'

00

，

；，,，zx,,y

y

x

,

；2偏导数的求（1）对

x

求偏导时，只要将

看成是常量，将

x

看成是变量，直接对

x

求导即.（2）对y偏导时，只要将x看是常量，将看是变量，直接对求即.如果要求函数在点

0

处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将

x0

和

y0

代入即.例：已函数

zx

3

yy

2

x

，求

和.解：

=

x2yy

2

，=

x

3

xy例：已函数

z

，求

和.解：

=

x2y

，=

x2y三、全分1全微分公式

函数

zf(,y)

在点

(,y)

处全微分公式为：

dxdy2全微分求法求出两个一阶偏导数

和.（2后入上述公式即./

''''''．．．．．．．2''''''．．．．．．．2例：设数

zsin(xx

2

y，dz.解：∵

=

yx=x∴

dxdyxxcos(x例：设数

z

2

，求dz.解：∵

=，=

2x

∴

dxdye

2

dx

2

dy四、二偏导的表示法和求：（1）

()==

f''(x)=zxx

……两次都对x求导（2）

()==

f(,y)xy

''

……先对x偏导，再对

求偏导（3）

()===

f(xy)yx

=

''

yx

……先对

求偏导，再对

x

求偏导（4）

()==

f(x,y)yy

=

''

yy

……两次都对

求偏导可见二元函数的二阶偏导共四们都是

,y

的函数求二阶偏导的时候一要注意对变量的求导次序（写在符号前面变量先求偏导.例：设数

zyxy

，求

，，和.解：∵

=

x2y3y

，=

x3y得

=

xy

2

，=

x22

，=

x2yy

，=

x3xy例：设数

zcos

，求

，.解：∵

=

sin

得

z2

=

，=

/

'2x2．．．．'2x2．．．．Ⅳ、一函的积分一、原数的定义

设

F()

是区间上一个可导函数，对于区间I上任意一点

，都有

()()

，则称

F()是()

在区间上的一个原函数例：

)

cosx

，因此

sin

是

x

的一个原函数，

x

是

sin

的导数由于

)'cosx

，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多.例：设

f)

的一个原函数为

1x

，求

f

(x

.解：因为

1是(x的个原函数，即F(x)=，所以xx

f(x)=F

()

==.得

f'(x)

=

'

=

2x3

1（注：xx

）二、不积分（一、定

我们把

f()

的所有原函数称为

f(x

在区间I上不定积分，记作

f()()

（其中

F'()f(x)

）注：定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿！（二、定积分性质〈1〉

fx(x)

f()

(x)dx〈2〉

()dx

（其中

为常数）（三、本积分式和数公式样必须记〈1〉

〈2〉

kdx

（k为常数）〈3〉

x

dx

x

(

〈4〉

1x

dxx〈5〉

〈6〉

cosxdxx〈7〉

sinx

〈8〉

x〈9〉

dx1

2

x例：

/

2sin

3．．3．．

x

3

dx

x

1dxx例：

tan2tanx

x

（利用换元法，设

tan

）又如：

cos

x

2lnxdlnxlnx23（四、定积分计算1直接积分法

：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。例1：

2

=

4x2

=

x52

3

例2：

2sindxxdxx

1x

dxx3lnx2凑微分法）适用前提如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分。（2）微分法解法骤〈1〉凑微分〈2〉换元〉直接积分法〈4反换元例：求定积分

xcosx解：原式

x

11x2=2

x

2

dx

2

……（1.凑分）将xdx成

12

x

2=

12

cosudu

……（2.换元将换成

=

12

u

……直接积分法）求出

的不定积分=

12

x2

……（4.反元）

再用

x

2

反换元例：求定积分

lnxx

dx解：原式=

)

……（1.凑微分）将

1x

dx

凑成

dlnx=

2du

……（2.换元将ln换成u=

3

……（3.直接积分法）求出的不定积分/

．．．3．．．．．．．．．．．．．．．．d11．．．3．．．．．．．．．．．．．．．．d11=

ln3x

……（4.反换元）u再ln换元例：求定积分

e

3x

解：原式

13

e3d

……（1.凑微分）将凑

13

dx=

13

eu

……（2.换元将

3

换元成

=

13

e

……（3.直积分法）求出

的不定积分=

13

e

3x

……（4.反换元）再用3

反换元分时注意凑完微分后前后变量要统握换元过程可以不必写出中间变量，而直接进行。例：

sin

3cos=

sinx

=

sin

x

（将

凑成

13

d

）例：

x1

=

12

12d2)=

（将

凑成

12

d

）3分部积分法考到率4℅左，要了解的可参考点解“详三、不积分（一、积分的义：

由曲边梯形的面积引出定义公式A=

f(x

（A为曲边梯形的面积）其中

f(x)

为被积函数，

为积分下限，

为积分上限。用定积所要注意的项：1、因为定积分是曲边梯形的面，因此定积分的值一定是一个常，以对定积分求导，导数值必为零。例arctandx

，

1

t22、当a=b时，

f(x

=0因定积分上限b＞a，当b＜a时

f(x=

f(x

例

1

sinx1cosx

dx

，

fx

f(x)（二、积分的算/

．．．．．．．．．．e1．．．．．．．．．．．．．e1．．．1变上限积分计算定义积分上限

x

为变量时的定积分称为变上限积分上限积分是上限

x

的函数，记作

(x)

f(