2023届高三数学阶段滚动检测（三）

阶段滚动检测〔三〕一、选择题1．(2023·福建“四地六校〞联考)集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，那么A∩B等于()A．(2,3] B．(2,3)C．(－3，－2) D．[－3，－2)2．(2023·北京)设a，b是向量，那么“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2023·福州质检)命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，那么綈p为()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<04．(2023·山东)函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，那么f(6)等于()A．－2 B．－1C．0 D．25．设a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4log2(－x)，x<0，,|x2＋ax|，x≥0.))假设f[f(－eq\r(2))]＝4，那么f(a)等于()A．8 B．4C．2 D．16．a>0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()7．(2023·福州质检)函数f(x)＝假设关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(0,1] D．(－1,0)8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．假设eq\o(DB,\s\up6(→))＝x·eq\o(DC,\s\up6(→))＋y·eq\o(DA,\s\up6(→))，x>0，y>0，那么x，y的值分别为()A.eq\r(3)，1 B．1＋eq\r(3)，eq\r(3)C．2，eq\r(3) D.eq\r(3)，1＋eq\r(3)9．sin(x－2017π)＝eq\f(1,3)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，那么tan2x等于()A.eq\f(\r(2),4) B．－eq\f(\r(2),4)C.eq\f(4\r(2),7) D．4eq\r(2)10．△ABC三边a，b，c上的高分别为eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2)，1，那么cosA等于()A.eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(2),4) D．－eq\f(\r(3),4)11．(2023·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，假设存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，那么a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2e)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2e)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2e)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2e)，1))12．O是锐角△ABC的外心，tanA＝eq\f(\r(2),2)，假设eq\f(cosB,sinC)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(cosC,sinB)eq\o(AC,\s\up6(→))＝2meq\o(AO,\s\up6(→))，那么m等于()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(3,2)C．3 D.eq\f(5,3)二、填空题13．假设f(x)＝x＋2eq\i\in(0,1,)f(t)dt，那么f(1)＝________.14．假设tanα＝3，那么eq\f(sin2α＋3cos2α,sin2α＋2sinαcosα－5)＝________.15．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，AD＝DC＝2，假设eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－14，那么eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.16．关于函数f(x)＝cos2x－2eq\r(3)sinxcosx，有以下命题：①对任意x1，x2∈R，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增；③函数f(x)的图象关于点(eq\f(π,12)，0)对称；④将函数f(x)的图象向左平移eq\f(5π,12)个单位长度后所得到的图象与函数y＝2sin2x的图象重合．其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上)三、解答题17．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x<－2，,x＋3，－2≤x≤\f(1,2)，,5x＋1，x>\f(1,2).))(1)求函数f(x)的最小值；(2)m∈R，p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意x∈R恒成立，q：函数y＝(m2－1)x是增函数，假设p正确，q错误，求实数m18．|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)(1)求a与b的夹角θ；(2)假设c＝ta＋(1－t)b，且b·c＝0，求t及|c|.19．设向量a＝(eq\r(3)sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，记f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)试用“五点法〞画出函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(11π,12)))上的简图，并指出该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；(3)假设函数g(x)＝f(x)＋m，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))的最小值为2，试求出函数g(x)的最大值．

20.函数f(x)＝eq\f(x2,x－a)，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)假设f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．21．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)sinx，sinx)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(sinx，cosx)．(1)设f(x)＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，假设f(A)＝0，求角A的值；(2)假设对任意的实数t，恒有|eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(AC,\s\up6(→))|≥|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求△ABC面积的最大值．22.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如下图，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及AC的长；(2)因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在eq\x\to(ABC)上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD的面积最大，并求出最大值．答案精析1．A[因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x－3)(x＋1)≤0}＝{x|－1≤x≤3}＝[－1,3]，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，所以A∩B＝(2,3]．应选A.]2．D[假设|a|＝|b|成立，那么以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，假设|a＋b|＝|a－b|成立，那么以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立．所以“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的既不充分也不必要条件．]3．C[全称命题p：∀x∈M，p(x)，那么否认为綈p：∃x0∈M，綈p(x0)，应选C.]4．D[∵当x>eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，应选D.]5．A[由f(－eq\r(2))＝4log2eq\r(2)＝2，f(2)＝|4＋2a|＝4，解得a＝－4，所以f(a)＝f(－4)＝4log24＝8，应选A.]6．C[∵函数y＝ax与y＝logax互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x对称，∴选项B的图象不正确；当0<a<1时，y＝logax与y＝ax都随x的增大而减小，y＝x＋a的图象与y轴的交点在y＝1的下方，只有选项C的图象正确；当a>1时，y＝logax与y＝ax都随x的增大而增大，y＝x＋a的图象与y轴的交点在y＝1的上方，没有选项符合要求．]7．B[根据题意作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,?x－1?3，x<2))的图象，如图．关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根等价于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,?x－1?3，x<2))的图象与直线y＝k有两个不同的公共点，那么由图象可知当k∈(0,1)时，满足题意．应选B.]8．B[设AD＝DC＝1，那么AC＝eq\r(2)，AB＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(6).在△BCD中，由余弦定理，得DB2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos(45°＋90°)＝7＋2eq\r(3).以D为原点，DA为x轴，DC为y轴建立平面直角坐标系(图略)，那么D(0,0)，A(1,0)，C(0,1)，由eq\o(DB,\s\up6(→))＝x·eq\o(DC,\s\up6(→))＋y·eq\o(DA,\s\up6(→))，得B(y，x)，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝(y，x－1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(y，x)，∴6＝(x－1)2＋y2，x2＋y2＝7＋2eq\r(3)，∴x＝1＋eq\r(3)，y＝eq\r(3).]9．C[因为sin(x－2017π)＝eq\f(1,3)，所以sinx＝－eq\f(1,3)，又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosx＝－eq\f(2\r(2),3)，所以tanx＝eq\f(\r(2),4)，所以tan2x＝eq\f(2×\f(\r(2),4),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(4\r(2),7).]10．C[设△ABC面积为S⇒a＝4S，b＝2eq\r(2)S，c＝2S⇒cosA＝eq\f((2\r(2))2＋22－42,2×2\r(2)×2)＝－eq\f(\r(2),4)，应选C.]11．D[由函数关系式，先找到满足f(x0)<0的整数x0，由x0的唯一性列不等式组求解．∵f(0)＝－1＋a<0，∴x0＝0.又∵x0＝0是唯一的使f(x)<0的整数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(－1)≥0，,f(1)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－1[2×(－1)－1]＋a＋a≥0，,e(2×1－1)－a＋a≥0，))解得a≥eq\f(3,2e).又∵a<1，∴eq\f(3,2e)≤a<1，经检验a＝eq\f(3,4)，符合题意，应选D.]12．A[取AB的中点D，连接OD，那么OD⊥AB，∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))，∴eq\f(cosB,sinC)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(cosC,sinB)eq\o(AC,\s\up6(→))＝2meq\o(AO,\s\up6(→))＝2m(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)))，∴eq\f(cosB,sinC)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(cosC,sinB)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2meq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2meq\o(DO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\f(cosB,sinC)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\f(cosC,sinB)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cosA＝2m·eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝m|eq\o(AB,\s\up6(→))|2，由正弦定理可得eq\f(cosB,sinC)sin2C＋eq\f(cosC,sinB)sinBsinCcosA＝msin2C，即cosB＋cosCcosA＝msinC，又cosB＝－cos(A＋C)＝－cosAcosC＋sinAsinC，∴sinAsinC＝msinC，∴m＝sinA，又tanA＝eq\f(\r(2),2)，∴m＝sinA＝eq\f(\r(3),3).]13．0解析记a＝eq\i\in(0,1,)f(t)dt，那么f(x)＝x＋2a，故eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(x＋2a)dx＝eq\f(1,2)＋2a，所以a＝eq\f(1,2)＋2a，a＝－eq\f(1,2)，故f(x)＝x－1，f(1)＝0.14．－eq\f(12,35)解析由题意知cosα≠0，∵eq\f(sin2α＋3cos2α,sin2α＋2sinαcosα－5)＝eq\f(sin2α＋3cos2α,－4sin2α＋2sinαcosα－5cos2α)＝eq\f(tan2α＋3,－4tan2α＋2tanα－5)，∴eq\f(tan2α＋3,－4tan2α＋2tanα－5)＝eq\f(9＋3,－36＋6－5)＝－eq\f(12,35)，即eq\f(sin2α＋3cos2α,sin2α＋2sinαcosα－5)＝－eq\f(12,35).15．－2解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－6×2＝－14⇒eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2.16．①③解析f(x)＝cos2x－2eq\r(3)sinxcosx＝cos2x－eq\r(3)sin2x＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).因为f(x1)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1＋\f(π,3)))＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2(x2＋π)＋\f(π,3)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(π,3)))＝f(x2)，故①正确；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))时，2x＋eq\f(π,3)∈[0，π]，所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递减，故②错误；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋\f(π,3)))＝2coseq\f(π,2)＝0，故③正确；函数f(x)的图象向左平移eq\f(5π,12)个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式为y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))＋\f(π,3)))＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，易知该图象与函数y＝2sin2x的图象不重合，故④错误．17．解(1)作出函数f(x)的图象，如下图．可知函数f(x)在x＝－2处取得最小值1.(2)假设p正确，那么由(1)得m2＋2m－2≤1，即m2＋2m－所以－3≤m≤1.假设q正确，那么函数y＝(m2－1)x是增函数，那么m2－1>1，解得m<－eq\r(2)或m>eq\r(2).又p正确q错误，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤m≤1，,－\r(2)≤m≤\r(2)，))解得－eq\r(2)≤m≤1.即实数m的取值范围是[－eq\r(2)，1]．18．解(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得a·b＝－∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)∵b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝－15t＋9＝0，∴t＝eq\f(3,5)，∴|c|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)a＋\f(2,5)b))2＝eq\f(108,25)，∴|c|＝eq\f(6\r(3),5).19．解(1)f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，∴函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)列表如下：x－eq\f(π,12)eq\f(2π,12)eq\f(5π,12)eq\f(8π,12)eq\f(11π,12)2x＋eq\f(π,6)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsin(2x＋eq\f(π,6))010－10yeq\f(1,2)eq\f(3,2)eq\f(1,2)－eq\f(1,2)eq\f(1,2)描点，连线得函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(11π,12)))上的简图如下图：y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后得到y＝sin(x＋eq\f(π,6))的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)后得到y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的图象，最后将y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的图象向上平移eq\f(1,2)个单位长度后得到y＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)的图象．(3)g(x)＝f(x)＋m＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)＋m.∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴sin(2x＋eq\f(π,6))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴g(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(m，\f(3,2)＋m)).又函数g(x)的最小值为2，∴m＝2，∴g(x)max＝eq\f(3,2)＋m＝eq\f(7,2).20．解(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}．f′(x)＝eq\f(x(x－2a),(x－a)2).①当a＝0时，f′(x)＝1，那么f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．②当a>0时，由f′(x)>0，得x>2a或x<0此时0<a<2a；由f′(x)<0，得0<x<a或a<x<2那么f(x)的单调递增区间为(2a，＋∞)，(－∞，0)单调递减区间为(0，a)，(a,2a)③当a<0时，由f′(x)>0，得x>0或x<2a，此时2a<a<0；由f′(x)<0，得2a<x<a或a<那么函数f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(0，＋∞)，单调递减区间为(2a，a)，(a,(2)①当a≤0时，由(1)可知，f(x)在(1,2)上单调递增，满足题意；②当0<2a≤1，即0<a≤eq\f(1,2)时，由(1)可知，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，即在(1,2)上单调递增，满足题意；③当1<2a<2，即eq\f(1,2)<a<1时，由(1)可得，f(x)在(1,2)上不具有单调性，不满足题意；④当2a＝2，即a＝1时，由(1)可知，f(x)在(a,2a)上单调递减，即在⑤当1<a<2时，因为f(x)的定义域为{x|x≠a}，显然f(x)在(1,2)上不具有单调性，不满足题意；⑥当a≥2时，由(1)可知，f(x)在(0，a)上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意．综上所述，a≤eq\f(1,2)或a＝1或a≥2.21．解(1)f(x)＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝－eq\r(3)×eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(sin2x,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2).∵f(A)＝0，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，又2A＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2π＋\f(π,3)))，∴2A＋eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)，∴A＝eq\f(π,6).(2)由|eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(AC,\s\up6(→))|≥|eq\o(BC,\s\up6(→))|，得|eq\o(CB,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(AC,\s\up6(→))|≥|eq\o(BC,\