2018届数学大复习第六章不等式、推理与证明第七节数学归纳法理VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精第七节数学归纳法☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。全国卷Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ无2015江苏,23，10分(数学归纳法)2014，安徽,21，13分(数学归纳法)2014，陕西,21，14分(数学归纳法)数学归纳法在近年的全国卷高考中还未出现过，只是在个别的自主命题的省份有所考查。由此可见数学归纳法不是高考的热点内容，我们做一般地认识就可以了,不必搞得过深过难。微知识小题练自|主｜排|查数学归纳法的定义及框图表示(1)定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行:①证明当n取第一个值n0（n0∈N＊）时命题成立，这一步是归纳奠基。②假设n＝k（k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推。完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。（2)框图表示：微点提醒1．数学归纳法证题时,不要误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3。2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：（1）必须利用归纳假设作基础。(2）证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法。(3）解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项。小｜题|快|练一、走进教材1．（选修2－2P96B组T1改编）在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq\f(1，2)n（n－3）条时，第一步检验n等于（)A．1 B．2C．3 D．4【解析】三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验n＝3。【答案】C2．(选修2－2P94例1改编)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2，2)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(）A．k2＋1B．(k＋1）2C。eq\f（k＋14＋k＋12，2）D．（k2＋1)＋(k2＋2）＋…＋(k＋1)2【解析】当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2。当n＝k＋1时,左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1)＋（k2＋2)＋…＋(k＋1）2，故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2。故选D。【答案】D二、双基查验1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f（1－an＋2,1－a)(a≠1,n∈N＊),在验证n＝1时，等式左边的项是（)A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3【答案】C2．用数学归纳法证明不等式1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,4）＋…＋eq\f(1，2n－1)>eq\f（127,64）（n∈N*）成立，其初始值至少应取(）A．7 B．8C．9 D．10【解析】左边＝1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1,4）＋…＋eq\f(1,2n－1）＝eq\f(1－\f(1,2n),1－\f(1，2）)＝2－eq\f(1,2n－1),代入验证可知n的最小值是8。故选B.【答案】B3．已知f（n）＝eq\f（1，n)＋eq\f（1，n＋1）＋eq\f(1,n＋2）＋…＋eq\f(1，n2），则()A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f(2）＝eq\f(1,2)＋eq\f（1，3)B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时,f(2)＝eq\f（1，2）＋eq\f(1,3）＋eq\f(1,4)C．f(n）中共有n2－n项，当n＝2时，f(2）＝eq\f（1，2）＋eq\f（1，3）D．f（n）中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f（2）＝eq\f(1，2）＋eq\f（1，3）＋eq\f（1,4)【答案】D4．设Sn＝1＋eq\f(1，2)＋eq\f（1,3）＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n），则Sn＋1－Sn＝________.【解析】∵Sn＋1＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f（1,3)＋eq\f(1，4）＋…＋eq\f（1，2n）＋eq\f（1,2n＋1)＋…＋eq\f（1,2n＋2n），Sn＝1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1，3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f（1,2n)，∴Sn＋1－Sn＝eq\f(1，2n＋1）＋eq\f（1，2n＋2)＋eq\f（1，2n＋3)＋…＋eq\f（1，2n＋2n)。【答案】eq\f（1,2n＋1）＋eq\f(1,2n＋2）＋eq\f(1，2n＋3)＋…＋eq\f(1，2n＋2n)5．已知｛an｝满足an＋1＝aeq\o\al(2，n)－nan＋1,n∈N＊，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________。【答案】345n＋1

考点例析微考点大课堂对点微练考点一用数学归纳法证明等式【典例1】求证：12－22＋32－42＋…＋（2n－1)2－(2n）2＝－n（2n＋1)（n∈N*）。【证明】①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立.②假设n＝k（k≥1,k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1）2－(2k)2＝－k(2k＋1）。当n＝k＋1时,12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k）2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k（2k＋1)＋（2k＋1)2－(2k＋2）2＝－k（2k＋1）－（4k＋3）＝－(2k2＋5k＋3）＝－（k＋1)[2（k＋1）＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立。由①②得,等式对任何n∈N＊都成立。反思归纳数学归纳法证明等式的思路和注意点1．思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少。2．注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形,正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法。【变式训练】设f(n)＝1＋eq\f(1,2）＋eq\f(1，3）＋…＋eq\f（1,n）（n∈N＊)。求证：f（1)＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f(n)－1]（n≥2，n∈N*）。【证明】(1）当n＝2时,左边＝f（1）＝1，右边＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,2）－1）)＝1,左边＝右边,等式成立。（2）假设n＝k(k≥2，k∈N＊)时，结论成立,即f（1)＋f（2)＋…＋f(k－1)＝k[f（k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f（1)＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）＝k［f(k)－1］＋f(k)＝（k＋1）f(k）－k＝(k＋1）eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(fk＋1－\f（1,k＋1)））－k＝（k＋1）f（k＋1)－(k＋1)＝（k＋1）［f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论仍然成立.由(1)（2）可知，f(1）＋f（2）＋…＋f（n－1)＝n[f（n)－1](n≥2,n∈N＊).考点二用数学归纳法证明不等式【典例2】已知数列｛an}，an≥0，a1＝0，aeq\o\al(2,n＋1)＋an＋1－1＝aeq\o\al(2,n)，求证：当n∈N*时，an＜an＋1。【证明】(1)当n＝1时，因为a2是方程aeq\o\al(2,2）＋a2－1＝0的正根,所以a1＜a2。（2）假设当n＝k(k∈N*)时，0≤ak＜ak＋1，则由aeq\o\al(2，k＋1）－aeq\o\al（2，k）＝(aeq\o\al（2，k＋2)＋ak＋2－1)－(aeq\o\al（2，k＋1)＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)（ak＋2＋ak＋1＋1）＞0，得ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立。根据(1)和(2）,可知an＜an＋1对任何n∈N*都成立.反思归纳1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差（作商)比较法、放缩法等证明。【变式训练】用数学归纳法证明:1＋eq\f(n，2)≤1＋eq\f（1,2）＋eq\f（1，3)＋…＋eq\f(1，2n）≤eq\f(1，2）＋n（n∈N＊).【证明】（1）当n＝1时，左边＝1＋eq\f(1，2）,右边＝eq\f(1，2)＋1,∴eq\f（3，2)≤1＋eq\f（1,2)≤eq\f(3,2），即命题成立。(2)假设当n＝k（k∈N*）时命题成立,即1＋eq\f（k,2)≤1＋eq\f(1,2）＋eq\f（1,3)＋…＋eq\f(1，2k)≤eq\f(1，2)＋k，则当n＝k＋1时,1＋eq\f(1,2）＋eq\f（1，3）＋…＋eq\f（1，2k)＋eq\f(1，2k＋1）＋eq\f(1,2k＋2）＋…＋eq\f（1，2k＋2k）>1＋eq\f（k，2)＋2k·eq\f（1，2k＋2k)＝1＋eq\f（k＋1，2）。又1＋eq\f（1,2）＋eq\f（1,3)＋…＋eq\f(1,2k）＋eq\f（1，2k＋1)＋eq\f（1,2k＋2）＋…＋eq\f(1，2k＋2k）〈eq\f（1,2）＋k＋2k·eq\f(1，2k)＝eq\f（1,2）＋(k＋1），即n＝k＋1时，命题成立。由(1)（2)可知，命题对所有n∈N＊都成立。考点三归纳—猜想—证明【典例3】设a＞0,f(x）＝eq\f（ax,a＋x），令a1＝1，an＋1＝f(an）,n∈N*。（1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an｝的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论。【解析】(1)∵a1＝1，∴a2＝f（a1)＝f（1)＝eq\f(a,1＋a)；a3＝f(a2）＝eq\f（a，2＋a)；a4＝f(a3）＝eq\f(a，3＋a)。猜想an＝eq\f（a，n－1＋a）（n∈N*)。（2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确.②假设n＝k(k∈N＊）时猜想正确，即ak＝eq\f（a,k－1＋a),则ak＋1＝f(ak)＝eq\f(a·ak,a＋ak）＝eq\f（a·\f(a,k－1＋a），a＋\f(a，k－1＋a)）＝eq\f(a,k－1＋a＋1)＝eq\f(a，[k＋1－1]＋a）。这说明，n＝k＋1时猜想正确.由①②知，对于任何n∈N＊，都有an＝eq\f（a，n－1＋a)。【答案】见解析反思归纳“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式。其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明。这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是归纳、猜想出公式。【变式训练】将正整数作如下分组：(1），（2,3)，（4，5，6)，（7,8，9，10)，(11,12,13，14，15），（16,17，18，19，20,21），…,分别计算各组包含的正整数的和如下,试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明。S1＝1,S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65,S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，……【解析】由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时,S1＋S3＝16＝24;当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34;当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4。下面用数学归纳法证明:（1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立.(2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋［(2k2＋k＋1)＋（2k2＋k＋2）＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)］＝k4＋（2k＋1）(2k2＋2k＋1）＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1）4,这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立。根据(1)和（2），可知对于任意的n∈N＊，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立。【答案】见解析考题选萃微考场新提升随堂自测1．用数学归纳法证明2n〉2n＋1，n的第一个取值应是（）A．1B．2C．3D．4解析∵n＝1时,21＝2，2×1＋1＝3,2n〉2n＋1不成立;n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立;n＝3时,23＝8，2×3＋1＝7，2n〉2n＋1成立。∴n的第一个取值应是3。故选C。答案C2．用数学归纳法证明“1＋eq\f（1,2)＋eq\f（1,3)＋eq\f(1，4)＋…＋eq\f(1,2n－1)〈n(n∈N＊，n≥2)时，由n＝k（k>1）不等式成立，推证n＝k＋1时不等式成立，左边应增加的项数为(）A．k B．k＋1C．2k D．2k＋1解析当n＝k时，不等式左侧是1＋eq\f（1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f（1，4)＋…＋eq\f(1，2k－1)，分母各项依次增加1，故当n＝k＋1时，不等式左侧变为1＋eq\f(1，2)＋eq\f(1,3)＋eq\f（1，4）＋…＋eq\f(1，2k－1）＋eq\f（1，2k）＋eq\f（1，2k＋1）＋…＋eq\f(1，2k＋1－1)，左边应增加的项数为（2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k，故选C。答案C3．(2016·承德月考）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq\f(1，2）＋eq\f(1，3)－eq\f(1，4）＋…－eq\f(1，n)＝2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，n＋2)＋\f（1,n＋4）＋…＋\f（1，2n）))时，若已假设n＝k（k≥2且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证(）A．n＝k＋1时等式成