2018届数学大复习第六章不等式、推理与证明第五节合情推理与演绎推理理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19-学必求其心得，业必贵于专精第五节合情推理与演绎推理☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1。了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发展中的作用；2。了解演绎推理的含义,掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论"进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理的联系和差异。2016，全国卷Ⅱ，15,5分（演绎推理）2016，北京卷，8,5分(演绎推理)2016,山东卷，5分（归纳推理)2014，全国卷Ⅰ,14，5分(演绎推理）1.归纳、类比推理多出现在填空题中，为中、低档题；2.演绎推理多出现在解答题中，与其他相关知识的考查融合为一体，在知识的交汇点处命题。微知识小题练自｜主|排｜查1．合情推理（1）归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。（2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理。②特点：是由特殊到特殊的推理。2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。（2）“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理。②小前提——所研究的特殊情况.③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。微点提醒1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性，则需要证明。2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比,就会犯机械类比的错误。3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的。若大前提或小前提错误,尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。小｜题|快｜练一、走进教材1．（选修2－2P77练习T1改编)已知数列{an｝中，a1＝1，n≥2时,an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是（)A．an＝3n－1 B．an＝4n－3C．an＝n2 D．an＝3n－1【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。故选C。【答案】C2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0,则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19,且n∈N＊)成立.类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9【解析】根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n〈17，且n∈N*)。【答案】b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n〈17,且n∈N*)二、双基查验1．数列2,5,11,20，x，47，…中的x等于（）A．28 B．32C．33 D．27【解析】由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9。则x－20＝12,因此x＝32。故选B。【答案】B2．给出下列三个类比结论：①（ab)n＝anbn与（a＋b）n类比，则有(a＋b）n＝an＋bn;②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β）类比，则有sin（α＋β)＝sinαsinβ;③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与（a＋b)2类比，则有（a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2其中结论正确的个数是(）A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】只有③正确。【答案】B3．观察(x2)′＝2x，(x4）′＝4x3，(cosx）′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x)＝f（x)，记g（x)为f(x）的导函数,则g(－x)＝(）A．f（x） B．－f(x)C．g(x） D．－g（x)【解析】由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数,因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g（x)。故选D。【答案】D4．观察下列不等式1＋eq\f（1，22）<eq\f(3，2)，1＋eq\f(1，22）＋eq\f(1，32)〈eq\f(5,3），1＋eq\f(1,22）＋eq\f（1，32）＋eq\f(1，42)〈eq\f（7，4）……按此规律，第五个不等式为__________.【解析】观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋eq\f（1,22）＋eq\f（1,32）＋eq\f（1,42）＋eq\f(1,52）＋…＋eq\f（1，n2）〈eq\f（2n－1,n)（n∈N*,n≥2)，所以第五个不等式为1＋eq\f（1,22）＋eq\f（1,32）＋eq\f(1，42)＋eq\f（1,52）＋eq\f(1,62)〈eq\f(11，6）.【答案】1＋eq\f(1,22）＋eq\f(1，32）＋eq\f（1,42）＋eq\f(1,52）＋eq\f(1，62)<eq\f（11,6）5．(2016·辽阳模拟）在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f（AC,BC）＝eq\f（AE，BE)。把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图),DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到类比的结论是________。【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq\f(AE，EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)。【答案】eq\f(AE，EB）＝eq\f(S△ACD,S△BCD）微考点大课堂考点一归纳推理【典例1】（2016·山东高考）观察下列等式：eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f(π,3））)－2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f(2π，3))）－2＝eq\f（4，3）×1×2；eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（π，5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（2π，5)））－2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（3π,5）））－2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（4π，5）））－2＝eq\f(4，3)×2×3；eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f（π,7）)）－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f（2π，7））)－2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f（3π，7)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（6π,7)）)－2＝eq\f(4,3)×3×4；eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(sin\f(π，9)））－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f(2π，9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f（3π,9))）－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f(8π，9）））－2＝eq\f（4，3）×4×5;……照此规律，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2n＋1）)）－2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sin\f(2π，2n＋1）））－2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2n＋1)））－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ，2n＋1)）)－2＝________。【解析】通过观察所给的四个等式右边的式子特点，可以发现其规律，最前面的数字是eq\f(4,3），接下来是和行数有关的两项的乘积，即n（n＋1）,所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(sin\f(π，2n＋1））)－2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin\f(2π，2n＋1)）)－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2n＋1）))－2＋…＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin\f（2nπ,2n＋1）)）－2＝eq\f（4，3)n(n＋1)。【答案】eq\f(4,3）n（n＋1)反思归纳归纳推理一般分为以下三种类型：1．与“数字”相关问题：主要是观察数字特点,找出等式左右两侧的规律。2．与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律。3．与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论。【变式训练】（1)（2016·达州模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：1371321…591523……111725………1927…………29……………则第30行从左到右第3个数是________.（2)（2016·湖南桃江检测）地震后需搭建简易帐篷,搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管。【解析】（1）观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝eq\f（30×2＋60，2）－1＝929。又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1051。（2)由题意可知，图①的单顶帐篷要（17＋0×11）根钢管，图②的帐篷要（17＋1×11）根钢管，图③的帐篷要（17＋2×11)根钢管，……所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根）钢管。【答案】(1）1051（2)83考点二类比推理…………母题发散【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b,c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2。类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.【解析】如题图所示,在Rt△ABC中,∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°。设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，∠EDF和∠PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面"S。于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S2＝Seq\o\al（2,1）＋Seq\o\al（2,2）＋Seq\o\al（2,3)成立。【答案】见解析【母题变式】1.把本典例条件“由勾股定理,得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝【解析】如图，在Rt△ABC中,cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（b，c））)2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，c））)2＝eq\f（a2＋b2，c2）＝1。于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P－A′B′C′中,若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α,β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1。【答案】见解析2．本典例条件改为“如图，作CD⊥AB于点D，则有eq\f(1，CD2)＝eq\f（1，a2）＋eq\f（1,b2)"。类比该性质，试给出空间中四面体性质的猜想。【解析】类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直,AE⊥平面BCD，则eq\f(1,AE2）＝eq\f（1，AB2)＋eq\f(1，AC2)＋eq\f（1,AD2)。如图，连接BE交CD于点F,连接AF，因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF⊂平面ACD,所以AB⊥AF。在Rt△AEF中,AE⊥BF，所以eq\f(1，AE2）＝eq\f（1,AB2）＋eq\f(1,AF2)，易知在Rt△ACD中,AF⊥CD，所以eq\f(1，AF2)＝eq\f（1，AC2）＋eq\f（1,AD2），所以eq\f（1,AE2)＝eq\f(1，AB2)＋eq\f（1,AC2)＋eq\f（1,AD2），猜想正确。【答案】见解析反思归纳类比推理是由特殊到特殊的推理,可以从以下几个方面考虑类比:①类比定义；②类比性质；③类比方法;④类比结构。考点三演绎推理【典例3】(2016·全国卷Ⅱ）有三张卡片,分别写有1和2，1和3,2和3。甲,乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1",丙说：“我的卡片上的数学之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________。【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C。从丙出发,由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1,再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A。【答案】1和3反思归纳演绎推理一般是三段论式的推理，但这种抽象的逻辑推论需要善于从所给的诸多信息中抓住关键信息,以此为起点逐一分析推理，直到获得结论。【变式训练】(2016·北京高考）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米)1。961.921。821。801。781.761.741.721.681。6030秒跳绳（单位：次)63a7560637270a－1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生。数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63,a，60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛。若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛。故选B。【答案】B微考场新提升1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1）是正弦函数,因此f(x)＝sin（x2＋1)是奇函数,以上推理（)A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确解析f（x)＝sin（x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误。故选C。答案C2．观察下列各式:a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(）A．121 B．123C．231 D．211解析解法一:由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三个等式中符合,则a10＋b10＝（a5＋b5）2－2a5b5解法二：令an＝an＋bn,则a1＝1，a2＝3，a3＝4,a4＝7，…,得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.故选B。答案B3．（2016·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列:（1，1)，(1，2)，（2,1）,（1，3)，（2，2),（3，1）,（1，4)，(2，3),（3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是（）A．(7，5） B．（5,7)C．(2，10） D．（10，1)解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有eq\f(nn＋1，2）个“整数对”，注意到eq\f(10×10＋1，2)〈60〈eq\f（11×11＋1,2)，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对"的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为：（1,11)，（2,10）,(3,9)，(4,8），(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)。故选B.答案B4．观察下列不等式：eq\f(52－22,5－2)≥2×eq\f（7,2），eq\f（45－35，42－32)≥eq\f（5,2)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（7，2）))3,eq\f(98－28,93－23)≥eq\f（8，3)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（11,2））)5，eq\f（910－510，95－55）≥2×75，……由以上不等式，可以猜测：当a>b>0,s、r∈N*时,有eq\f(as－bs，ar－br）≥________。解析由已知不等式可知，eq\f(52－22，5－2)≥2×eq\f（7，2)＝eq\f(2，1）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（5＋2,2)））2－1，eq\f（45－35，42－