2022湘潭数学中考试卷（含答案解析）

2022年湘潭市初中学业水平考试

一、选择题（本大题共8小题,每小题3分，共24分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符

合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）

1.（2022湖南湘潭,1,3分）如图，点A、8表示的实数互为相反数，则点8表示的实数是（）

.____g_.

-20

11

A.2B.-2C.-D.--

22

2.（2022湖南湘潭,2,3分）下列整式与仍2为同类项的是（）

A..crbB.-2atrC.abD.ab2c

3.（2022湖南湘潭,3,3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物.该吉祥物以熊猫为原型

进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合,体现了冬季冰雪运动和现代科技特

点，冰墩墩玩具也很受欢迎.某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

玩具

数量35475048426068

（件）

则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（）

A.48,47B.50,47C.50,48D.48,50

4.（2022湖南湘潭,4,3分）下列几何体中，主视图为三角形的是（）

ABCD

5.（2022湖南湘潭,5,3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精

神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三

条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳

子?设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是（）

（%4-y=40（x+y=12

AW+3y=12B（4X4-3y=40

Cx+y=40（x+y=12

C-l3x+4y=12D（3X+4y=40

6.（2022湖南湘潭,6,3分）在口ABC。中（如图），连接AC,已知/a4。=40。,/4。8=80。,则

（）

1

AB

A.80°B.1000C.1200D,140°

7.（2022湖南湘潭,7,3分）在△ABC中（如图）,点。、E分别为AB、AC的中点，则SAADE：SAABC=

（

A

D/---------\E

«C

A.l：1B.l：2C.l：3D.l：4

8.（2022湖南湘潭,8,3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角

三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若"弦图”中小正方形面

积与每个直角三角形面积均为l,a为直角总迷史的一个锐角，则tana=（）

A.2B.-C.-D.—

225

二、选择题（本题共4小题,每小题3分，共12分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得3分,部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答

题卡相应的位置上）

9.（2022湖南湘潭,9,3分）若a池则下列四个选项中一定成立的是（）

A.a+2>〃+2B.-3a>-3〃

C.->-D.a-l<b-l

44

10.（2022湖南湘潭,10,3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分

钟.某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制

出如图所示的频数直方图（数据分成3组:0<在30,30〈烂60,60<烂90）,则下列说法正确的是（）

A.该班有40名学生

B.该班学生当天完成作业时长在30〈烂60分钟的人数最多

C.该班学生当天完成作业时长在04330分钟的频数是5

D.该班学生当天完成作业时长在0〈烂60分钟的人数占全班人数的80%

11.（2022湖南湘潭,11,3分）下列计算正确的是（）

A.4a-2a=2B.a3-a2=a5

C.(3a2)2=6a4D.«6-rfl2=a4

12.（2022湖南湘潭,12,3分）如图，小明在学了尺规作图后,作了一个图形，其作图步骤是:①作线段

A8=2,分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点C、②连接AC、8C,作直线

8,且CO与A3相交于点”，则下列说法正确的是（）

AZABC是等边三角形

B.AB±CD

C.AH=BH

D.ZACD=45°

三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分.请将答案写在答题卡相应的位置上）

13.（2022湖南湘潭,13,3分）四个数-1畴百中,为无理数的是.

14.（2022湖南湘潭,14,3分）请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达式:.

15.（2022湖南湘潭,15,3分）2022年6月5日,神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成

功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接.请将400000米

用科学记数法表示为米.

16.（2022湖南湘潭,16,3分）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方

向射出，已知NAOB=120°,ZCDB=20。，则NAEF=.

四、解答题（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解

答过程写在答题卡相应位置上）

17.（2022湖南湘潭,17,6分）如图,在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为4-

1,1）乃（-4,0）,。（-2,2）.将^ABC绕原点O顺时针旋转90。后得到△AIBICI.

Ai,Bi,C\;

（2）求点B旋转到点Bi的弧长.

18.（2022湖南湘潭,18,6分洗化简，再求值:止十/75r鲁，其中x=2.

19.（2022湖南湘潭,19,6分）如图，在。O中，直径A3与弦CD相交于点瓦连接AC、BD.

（1）求证:△AECsADEB;

⑵连接AO,若AD=3,NC=3O。,求。O的半径.

20.（2022湖南湘潭,20,6分）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好

中国故事”的主题比赛活动.八年级（一）班由4、4、4三名同学在班上进行初赛，推荐排名前

两位的同学参加学校决赛.

（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；

⑵若4、4两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和

内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里.先由Ai随机摸取1张卡片记下编号,然后放

回，再由4随机摸取1张卡片记下编号,根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事.求4、A2两

人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.

A“杂交水稻之父”袁隆平

B“天眼之父”南仁东

C“航天之父”钱学森

21.（2022湖南湘潭,21,6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的

一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分

割的美学设计理念,设计了中截面如图所示的伞骨结构:伞柄AH始终平分N84a43=AC=20

cm,当NBAC=120。时，伞完全打开，此时/80。=90。,誓项.618.请问最少需要准备多长的伞柄?（结

果保留整数，参考数据:V5nL732）

22.（2022湖南湘潭,22,6分）百年青春百年梦，初心献党向未来.为热烈庆祝中国共产主义青年团

成立100周年,继承先烈遗志，传承“五四”精神，某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活

动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动.为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八

年级20名学生读书数量（单位:本），并进行了以下数据的整理与分析：

数据收集:253546153436758347

34

数据整理：

本数0<x<22<x<44<x<66<x<S

组别ABCD

频数2m63

数据分析:绘制成不完整的扇形统计图:

依据统计信息回答问题：

⑴在统计表中，〃尸;

（2）在扇形统计图中,C部分对应的圆心角的度数为;

（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果,估计该校八年级学生读书在4本以

上的人数.

23.（2022湖南湘潭,23,8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某

校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成I、〃两块矩形劳动实践基地.

某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方

案回答下列问题：

（1）方案一:如图①，全部利用围墙的长度,但要在/区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总

种植面积为32n?,试分别确定CG、DG的长；

（2）方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大，请问8c应设计为多长?此时最大面积为

多少？

24.(2022湖南湘潭,24,8分)已知A(3,0)、以0,4)是平面直角坐标系中两点，连接AB.

⑴如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切,求过点P的反比例函数

表达式；

(2)如图②，点N是线段OB上一点，连接AON沿AN翻折,使得点O与线段A3上的点

M重合,求经过A、N两点的一次函数表达式.

图①图②

25.(2022湖南湘潭,25,10分)在^ABC中,直线I经过点A,过点B、C分别作

/的垂线,垂足分别为点。、E.

(1)特例体验:如图①,若直线/〃3&43=AC=&,分别求出线段BD、3和DE的长；

(2)规律探究：

(/)如图②，若直线I从图①状态开始绕点A旋转a((r<a<45。),请探究线段BD、CE和DE的数

量关系并说明理由；

(〃)如图③，若直线I从图①状态开始绕点A顺时针旋转研45。<。<90。),与线段BC相交于点H,

请再探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用:在图③中，延长线段8。交线段AC于点F,若CE=3,£>E=1,求SABFC.

图②

26.(2022湖南湘潭,26,10分)已知抛物线y=x2+bx+c.

(1)如图①，若抛物线与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点8(0,-3).连接AB.

(/)求该抛物线所表示的二次函数表达式；

(〃)若点P是抛物线上一动点(与点A不重合)，过点P作PH±x轴于点"，与线段AB交于点M.

是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点?若存在，请求出点P的坐标;若不存在,请说明

理由.

⑵如图②，直线y=\+n与y轴交于点C,同时与抛物线产/+Zzx+c交于点。(-3,0),以线段CD为

边作菱形CDFE,使点尸落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范

围.

图②

2022年湘潭市初中学业水平考试

1.

A因为互为相反的两个数相加得0,所以点B表示的实数为0-(-2)=2.

2.

B由同类项的概念“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项称为同类项“，知与"2为同类项的是-2a尻

3.

、、人»=.>st./1..1ytyr一》=1辽十tj皿35+47+50+48+42+60+68八

C这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数=---------------------=50;

将这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的数量按照从小到大的顺序排列为35,42,47,48,50,60,68,处在最中间位置的

数为48,故中位数为48.

4.

A主视图需从正面看，易知选项A中的图形,即圆锥的主视图是三角形.

5.

B根据题意知，桌子与凳子的数量之和为12,桌子腿与凳子腿的条数之和为40,故可列出方程组I2、

(4%+3y=4U.

在解决这类问题时，先找准等量关系，再列方程，一定要注意量的对应关系，切勿因为对应关系不正确而出错.

6.

C四边形ABCD为平行四边形,・•.A8〃CD

•/ZBAC=40°t.\ZDCA=ZBAC=40°,

：.ZBCD=ZBCA+Z£>CA=80°+40°=120°.

7.

D•:D,E分别为ABAC的中点，

：・DE为AABC的中位线，

:,DE〃BC,DE=^BC,

•••△AOES2\A8C,且相似比为1:2,

:•S^ADE:ABC=1:4.

8.

A如图,因为小正方形面积为1,所以CD=1.

因为小正方形与每个直角三角形的面积均为1,所以大正方形的面积为5,所以AB=V5.

在RtAACB中，设AC=x，则BC=\+x.

因为AC2+BC2=AB2,^\ix2+(l+x)2=(V5)2,

所以产1(负值舍去)，

BC1+Xc

WrrUtana=—=----=2.

ACx

本题的受阻点是如何把所求与已知联系起来,由面积关系可求出大、小正方形的边长,然后利用弦图的特殊

结构，结合勾股定理求出a所在的直角三角形的各边长，进而求出正切值.

9.

AC由不等式的性质1,可知选项A正确,D错误;由不等式的性质3,知B错误;由不等式的性质2,知C正确.

10.

AB由频数分布直方图知该班共有10+25+5=40名学生，故A正确;该班学生当天完成作业时长在30＜_匕60分钟

的人数为25,人数最多，故B正确;该班学生当天完成作业时长在0＜区30分钟的频数为10,故C错误;该班学生当天

35

完成作业时长在0＜在60分钟的人数为10+25=35,因为一xl00%=87.5%,所以D错误.

40

11.

BD'：4a-2a=2a,：.A错误;根据同底数幕的乘法，知B正确;：(3a2)2=9dV.C错误;由同底数幕的除法，知D正确.

12.

ABC由作图轨迹知,CO为线段A8的垂直平分线，所以AB1C7);又以A8长为半径画弧，所以AB=AC=BC,所以

△ABC是等边三角形;由“三线合一”可知,AH=B〃,NACQ=[NACB=30。,故ABC中说法正确,D中说法错误.

13.

答案V3

14.

答案y=x(答案不唯一)

解析因为y随x增大而增大，所以一次函数中x的系数为正数即可.

15.

答案4x105

16.

答案40°

解析由题意知

ZCDB=20°,：.Z£DO=20°.

在4DEO中,：ZEDO=20°,ZAOB=120°,

ZOED=\SQ°-ZEDO-ZAOB=40°,：./4E尸=40°.

17.

解析(l)(l,l);(0,4);(2,2).

⑵弧BBi的长:^-=2兀

180

18.

5ILHA1CXX(X+1}

解析原式=—(^-9)-------=.v+3-l=x+2.

x-3x+1xz

当x=2时，原式=2+2=4.

19.

解析(1)证明:如图,都是弧AD所对的圆周角,，NC=NB.

又YN1=N2,.\△AECsMEB.

(2)VZC=30°,.\ZB=30°.VAB为直径，,ZADB=90°.

在RtAADB中,；AO=3,...48=240=6,OO的半径为3.

20.

解析(1)三名同学讲故事顺序的所有可能结果如下：

①4/243；②AI,A3力2；③42,44:④①人山；也4.3,41工2；⑥A3/2A.

(2)画树状图如下:

所有可能出现的等可能的结果有9种，其中两人讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，所以两人讲述同一名科技

31

英雄故事的概率为

93

21.

解析如图,平分/BAC,；.Nl=/2.

AB=AC,

在△AB。与AACQ中,，Z1=22,.'.△AB。会△AC。,，N4=N5.

.AD=AD,

如图，过点B作BE_LA。于点E.

o

,.,ZB4C=120,ZBDC=90°,Zl=Z2,Z4=Z5>

.,.Zl=60°,Z4=45°.

在RtAABE中,：AB=20cm,N1=60°,；.Z3=30°,/.AE=10cm,

.,.BE-lOy/3cm.

在RtABED中,；/4=45°,；./\8匹是等腰直角三角形,

：.DE=BE=l0y/3cm.

・•・AD=AE+DE=10(l+V3)cm.

DHAH-ADAD

—口).618,

AH

AD

：.—^0.382.

AD_10(1+国)

：.AH=~72(cm).

0.382-0.382

答:最少需要准备72cm的伞柄.

22.

解析⑴9.提示:m二2023-6=9.

(2)108。.提示:C部分对应的圆心角的度数为二x36(T=108。.

(3)：200乂点=90(人),...估计该校八年级学生读书在4本以上的人数为90.

23.

解析(1)由题意知,DC=AB=12m,

21-12

/•AD=---=3(m).

;总种植面积为32m2,.*.3xl2-lxDG=32,

/.DG=4m,CG=8m.

⑵设BC=xm,则OC=(21・3x)m,设总种植面积为ym2,

贝U严元(21-3x)=3(X—0

V0<21-3A<12,.,.3<X<7.

7147

V-3<0,当x=-^i,y=—.

2mdX4

7147

答:BC长为：；m时，围成的两块矩形总种植面积最大，最大面积为丁m2.

24

24.

解析⑴如图，过点P作PE垂直x轴于点E,PF垂直y轴于点F,

则四边形PFOE为正方形.

设正方形PFOE的边长为乂

BFPF

*：PF//OA,：./XBFPs△BOA,，一=—

OBOA

VA(3,0),B(0,4),OA=39OB=4,

.4-x_x.12

••——、••X-.

437

.♦.p点坐标为仔，勺.

144

•・•过尸点的反比例函数表达式为

⑵；4(3,0),8(0,4),r.0A=3,。8=4,r.A8=5.

由折叠，知AM=AO=3,NM=NO,NM±AB,：.BM=2.

设N(0,a),则NM=ON=a,BN=4-a.

3

在RtABNM中〃+22=(4一a)2,解得a=-

设过A,N两点的一次函数表达式为y=kx+b,

1

3k+b=0,k

将A(3,0),N(0,|)代入，得2

b=3解得，

13

.••过A,N两点的一次函数表达式为y=-~x+~-

本题第2问还可以根据三角形面积求N点坐标.

・・•将△AON沿AN翻折,使得点。与线段AB上的点M重合,

：・ON=NM,MN【AB.

・.,4(3,0)/(0,4),・・・0A=3,01=4,/.AB=5.

*•*SAAOB=SA40AH"SAABN,

111

/,-x3x4=-x3xON+-x5xMN,

222

解得0吟・.电弓)

设过A,N两点的一次函数表达式为y=kx+b,

/3\(3k+b=0,

将A(3,O),N(O,0代入，得卜=3

(k-13

解得〈3二过A,N两点的一次函数表达式为)=$+；.

b=-.,22

25.

解析⑴:ZBAC=90°,AB=AC,

・•・ZABC=ZACB=45°.

♦・•/〃BC,・・・ZDAB=ZA^C=45°,ZEAC=ZACB=45°.

TBOCE均垂直于k.XADB与^AEC均为等腰直角三角形.・mAC=&,

：.AD=BD=l,AE=CE=1,DE=AD+AE=2.

(2)(/)DE=CE+BD理由，如图，：ZBAC=90°,Zl+Z2=90°.'ZBDll,：.Zl+Z3=90°,AN2=N3.在△ABD与

ZADB=Z.CEA=90°,

△CAE中,,23=22,

AB=CA,

：.△AB。名△CAE,：.BD=AE,AD=CE、

：.DE=AD+AE=CE+BD.

(I/)DE=BD-CE.

理由:如图，：NBAC=90。,，Nl+N2=90。.

VBD1/,.-.Zl+Z3=90°,.".Z2=Z3.

(Z.ADB=/.CEA=90°,

在4ABD与^CAE中；Z3=22,

AB=CA,

：.△ABD"CAE,：.BD=AEAD=CE,

：.DE=AE-AD=BD-CE.

⑶如图，由(〃)知,BO=AJ4O=CE,OE=BO-CE.

又CE=\DE=1,：.AD=3,BD=4,：.AB=5.

'：Z3=Z3,ZADI3=ZBAF,：./^BAD^/^BFA,

BDAD3，解得FA=^.

ABFA5FA

1,11525

•・SABFC=SAAB^ABF=-X5---X5X-=-

类比思想的运用:在解决本题时，先从特殊情况出发，然后类比