河北省石家庄市栾城县楼底中学高三数学理月考试题含解析

河北省石家庄市栾城县楼底中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，复数z=（4+i）+（﹣3﹣2i）的虚部是（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣i参考答案：D【考点】A6：复数代数形式的加减运算．【分析】直接利用复数代数形式的加减运算化简得答案．【解答】解：z=（4+i）+（﹣3﹣2i）=1﹣i∴复数z的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A．y=cos2x B．y=log2|x| C． D．y=x3+1参考答案：B考点： 奇偶性与单调性的综合．

专题： 函数的性质及应用．分析： 利用函数奇偶性的定义及基本函数的单调性可作出判断．解答： 解：函数y=log2|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且log2|﹣x|=log2|x|，∴函数y=log2|x|为偶函数，当x＞0时，函数y=log2|x|=log2x为R上的增函数，所以在（1，2）上也为增函数，故选B．点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．3.某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人.现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为（

）

参考答案：B4.在中，点在边上，且，，则=（）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.过抛物线x2=4y在第一象限内的一点P作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则点P到抛物线焦点F的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定点（a，a2）处的切线方程，进而可求切线与两坐标轴围成的三角形的面积，即可求得a的值，利用抛物线的定义，可得结论．【解答】解：抛物线x2=4y，即y=x2，求导数可得y′=x，所以在点（a，a2）处的切线方程为：y﹣a2=a（x﹣a），令x=0，得y=﹣a2；令y=0，得x=a．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=，∴a=2，∴P（2，1），∴|PF|=1+1=2．故选B．6.设复数，则的共轭复数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.已知、、是共起点的向量，、不共线，且存在m，n∈R使成立，若、、的终点共线，则必有

A．m+n=0

B．m－n=1

C．m+n=1

D．m+n=－1参考答案：C设，因为、、的终点共线，所以设，即，所以，即，又，所以，所以，选C.8.集合A={x|x2﹣2x＞0}，集合B是函数y=lg（2﹣x）的定义域，则A∩B=(

) A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，+∞）参考答案：A考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用不等式的性质、对数函数的定义域和交集性质求解．解答： 解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，集合B是函数y=lg（2﹣x）的定义域，即B={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，∴A∩B={x|x＜0}=（﹣∞，0）．故选：A．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式的性质、对数函数的定义域和交集性质的合理运用．9.已知向量，满足，，则（

）A.4 B.3 C.2 D.0参考答案：B【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【详解】向量，满足，，则，故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积公式，属于基础题10.若全集为实数集，集合=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量x、y满足约束条件，则的取值范围是_________参考答案：答案：

12.已知正四棱锥(底面是正方形且顶点在顶面的射影是底面正方形的中心的棱锥叫做正四棱锥)的体积为，底面边长为，则正四棱锥内切球的表面积为________．参考答案：

13.不等式的解集为_________________参考答案：【知识点】绝对值不等式的解法．E2

解析：：∵|2x+1|-2|x-1|＞0，∴|2x+1|＞2|x-1|≥0，

∴（2x+1）2＞4（x-1）2，∴．∴不等式|2x+1|-2|x-1|＞0的解集为．

故答案为：．【思路点拨】由不等式|2x+1|-2|x-1|＞0?不等式|2x+1|＞2|x-1|?（2x+1）2＞4（x-1）2即可求得答案．14.已知：P是直线l：3x+4y+13=0的动点，PA是圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的一条切线，A是切点，那么△PAC的面积的最小值是

．参考答案：2【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】求出圆的标准方程，以及三角形的面积，将面积的最值问题转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，则圆心坐标为C（1，1），半径R=2，则△PAC的面积S=，∴要使△PAC的面积的最小，则PA最小，即PC最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d=，即PC=d=4，此时PA==2，即△PAC的面积的最小值为S=2，故答案为：2【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，将三角形的面积进行转化，以及利用数形结合是解决本题的关键．15.设函数是偶函数，当x≥0时，=，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是

．参考答案：

16.有一根长为1米的绳子，随机从中间细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为_________。参考答案：略17.若的展开式中第6项为常数项,则---

参考答案：

15三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=，PD⊥平面ABCD，E，F分别是CD，PB的中点．求证：（Ⅰ）CF∥平面PAE；（Ⅱ）平面PAE⊥平面PBD．

参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CF∥平面PAE；（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理证明AE⊥平面PBD，即可证明平面PAE⊥平面PBD．【解答】证明：（Ⅰ）取AB的中点N，连接FN，EN，在△PAB中，FN为中位线，∴FN∥AB，FN=AB，∵CE=AB，CE∥AB，∴CE∥FN，CE=FN，∴四边形CENF为平行四边形，∴CF∥EN，∵EN?面PAE，CF?面PAE，∴CF∥平面PAE；（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PD⊥AE．设AE∩BD=M，∵E为CD的中点，∴，则△DME∽△AMB，在矩形ABCD中，AE=，BD=，∴DM2+EM2==DE2，即△DME为直角三角形，即AE⊥BD，∵PD∩BD=D，PD?面PBD，BD?面PBD，∴AE⊥平面PBD，∵AE?平面PAE，∴平面PAE⊥平面PBD．19.（本小题满分14分）

已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）解：．

依题意，令，解得．

经检验，时，符合题意．

……4分

（Ⅱ）解：①当时，．

故的单调增区间是；单调减区间是．

…5分②当时，令，得，或．当时，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和．

当时，的单调减区间是．

当时，，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和．③当时，的单调增区间是；单调减区间是．

综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和．

……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．

当时，在的最大值是，由，知不合题意．

当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．

所以，在上的最大值是时，的取值范围是．…………14分

略20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若，且△ABC为锐角三角形，a=7,c=6，求b的值；（2）若,，求b+c的取值范围．参考答案：（1）∵，∴，又∵为锐角，，而，即，解得（舍负），∴．...............................5分（2）方法一：（正弦定理）由正弦定理可得，∵，∴，∴，∴．..............................10分方法二：（余弦定理）由余弦定理可得，即，∴，又由两边之和大于第三边可得，∴．...........................10分21.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段A1D上，=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC⊥AE．因为BC∥AD，所以AE⊥AD．建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=．

…（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且=λ，则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）．

…设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．因为=（，0，0），=（，，1），由，得x0=0，y0+z0=0．取y0=2，则z0=﹣1，则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）．

…由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…22.(本题满分14分)已知A，B为平面内两定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线l：y＝k(k>0)与(1)