高中数学立体几何-二面角求法

图图41.定义法二面角求法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.例1・正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为_解析：易知ZCOq是二面角C-BD-q的平面角，且tanzCOC厂込。A¥例2•在锥体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形，且ZDAB=60°,@PA二PD=迈,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.求：二面角P-AD-B的余弦值.解：由（1）知ZPGB为二面角P-AD-B的平面角，_17在RtAPGA中，PG2=-（_胆=_；在RtABGA中，24BSSBG2=12-（2）2在APGB中，cosZPGB=PG2+BG2-PB22pg~bG<212三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3,设锐二面角a-1-卩，过面a内一点P作PA丄a于A，作AB丄/于B，连接PB，由三垂线定理得PB丄/，则ZPBA为二面角a-1-卩的平面角，故称此法为三垂线法.《例3•如图4，平面a丄平面p，aAp=/，AGa，BGp，点A在直线/上的射影为A】,点B在/的射影，已知AB=2，AA1=1，BB1^；2，求：二面角A1-AB-B1的正弦值.分析与略解：作A1E丄AB］于AB1于E，则可证A1E丄平面AB1B.

过E作EF丄AB交AB于F,连接A1F，则得A1F丄AB,AZA1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B^.'2,A1B^3，A1E=^-2，A】F=遇，则在Rt^A1则在Rt^A1EF中，sinZA]FE=AiE卫A1F=3例4•如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PA丄平面ABCD,点E在线段PC上,PC又四边形ABCD为矩形,.••四边形ABCD是正方形.设AC交BD于O点,VPC丄平面BDE,・・・ZBEO即为二面角B-PC-A的平面角.•/PA=1,AD=2,・•・AC=2_,BO=OC=•PC=」「=3,B-PC-A的正切值为3.ULU0叮B-PC-A的正切值为3.又0E=「=，一在直角三角形BEO中,tanZBEO=•=•=3,•二面角例5.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PA丄底面ABCD,PA=AB=3点E是棱PB的中点.

⑴若AD=⑴若AD=「，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.⑴过点D作DF丄CE,交CE于F,过点F作FG丄CE,交AC于G,则ZDFG为所求的二面角的平面角.由（I）知BC丄平面PAB,又AD〃BC,得AD丄平面PAB,故AD丄AE,从而DE=；上厂「"=阳.在Rt^CBE中,CE=•由CD=6所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点,n3J2且DF=CD・sin=：：.且G点为且G点为AC的中点.因为AE丄平面PBC,故AE丄CE,又FG丄CE,知FG='AE,从而1连结DG,贝V在Rt^ADG中，DG='AC@@3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。①分别求出a和0的法向量m,n，则二面角a-1-卩的大小为＜m,n＞或兀一＜m,n＞答题模板第一步：建立空间直角坐标系第二步：确龙点的坐标'第三步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标.第四步：第五步：计算向量的夹角（或函数值）*将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾•查看关键点、易错点和答题规范.已知ABCD是直角梯形,ZDAB=ZABC=90°,SA丄平面ABCD,SA=AB=BC=1,i,求平面SAB与SCD所成二面角的余弦值.解需由SA丄平面仙CD,細丄眄SA,AB,A0两两互相垂直.以A为怡标原点，AD所在的苴线为龙轴，AB所在的肚线为y轴建立空间直角坐标系A-xvZ.则TOC\o"1-5"\h\zi—1—邃(叽1),5(-0.0),C(LLO),SD-(-,0.-1),SC=(LL-J),o941.设平面SCD的法向量为丹=(兀yWh则7•纭=6m*5C=O*转化为坐标运算,得[jc+y_g=0.取Z二1,贝[]；二(Z—1J),1-x2+Ox(-I)+0X723*-*—-n•ADcos<n,AD>=■]■：/iAD例1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PA丄平面ABCD,点E在线段PC上,PC丄平面BDE.建立如图所示的坐标系A-xyz，则A(0,0,0),P(0,0,1),C(2,2,0),B(2O0).・••订=(0,0,1)厂'=(2,2,0).

设平面PAC的法向量为n1=(x,y,z),"At1-n.=v=O,则rfC-ti令x=iy=-1,z=0.即n1=(1,-1,0).同理求得面PBC的一个法向量n2=(1,0,2).cos<n1,n2>=/Hi设二面角B-PC-A的大小为a，则cosa=—,sina=—,tana=3.例2.(2014广东,18,13分)如图,四边形ABCD为正方形,PD丄平面ABCD,ZDPC=30,AF±PC于点F,FE〃CD,交PD于点E.(1)求二面角D-AF-E的余弦值.PC=2,PD八；，由(1)知CF丄DF,・・・DF=°,CF=“，(1)求二面角D-AF-E的余弦值.PC=2,PD八；，由(1)知CF丄DF,・・・DF=°,CF=“，又FE〃CD,DECF1Vi33M：=X=j.・・DE=；，同理EF=*CD=J解法二：如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1),设m=（x,y,z）是平面AEF的法向量设m=（x,y,z）是平面AEF的法向量,mAE=^x-z=O,

ur3=—y=0,令x=4，得z=ir,故m=（4,0八'）,L<-Mf—I叭-斗"2^57由⑴知平面ADF的一个法向量为H丄（八；,1,0）,设二面角D-AF-E的平面角为。I叭-斗"2^57ULU&―■—cose=|cosvm厂>|=一」=、'、-=宀，故二面角D-AF-E的余弦值为凡.例3.（2010天津例3.（2010天津,19,12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC,—