新教材高中数学立体几何初步.1空间几何体.1.5旋转体课时分层作业含解析新人教B版必修

04/403/4/课时分层作业(十三)旋转体(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④D[根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台C[圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．]3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A．eq\f(1＋2π,2π)B．eq\f(1＋4π,4π)C．eq\f(1＋2π,π)D．eq\f(1＋4π,2π)A[设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.]4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是()A．54πB．8πC．4πD．16πA[S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.]5．长方体的体对角线长为5eq\r(2)，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()A．20eq\r(2)πB．25eq\r(2)πC．50πD．200πC[∵对角线长为5eq\r(2)，∴2R＝5eq\r(2)，S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝50π.]二、填空题6．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的表面积是________．2π＋4π2[由题意可知，2πr＝h＝2π，则r＝1，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π2.]7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．2∶1[S圆柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圆锥＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.]8．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．100π[设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.由母线长为10可知10＝eq\r(?3r?2＋?4r?2)＝5r，∴r＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.]三、解答题9.如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC．当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解]如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的几何体．10．已知一个表面积为120cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．[解]如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，由6a2＝120，得a2在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝eq\f(\r(2),2)a，由勾股定理，得R2＝a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3a2,2)＝30.所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)．11．(多选题)下列命题中正确的是()A．过球面上任意两点只能作球的一个大圆B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面D．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫做球面BCD[过球的直径的两端点可作无数个大圆，故A错误；由球及球面的概念可知B、C、D均正确．]12．我国古代数学名着中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”(注：1丈等于10尺)()A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺C[由题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，其一条边(圆木的高)长24尺，与其相邻的边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长＝eq\r(242＋102)＝26(尺)．]13．若棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．3π[因为棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体的体对角线，所以球的半径是r＝eq\f(\r(3),2)，所以球的表面积是4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝3π.]14．(一题两空)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392，母线所在的直线与轴的夹角是45°，则这个圆台的高为________，母线长为________．1414eq\r(2)[圆台的轴截面如图所示，由题意可设圆台上、下底面半径分别为x,3x，延长AA1交OO1的延长线于点S.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，∠SOA＝90°，∴SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，∴OO1＝2x，∴S轴截面＝eq\f(1,2)(6x＋2x)·2x＝392，∴x＝7.故圆台的高OO1＝14，母线长A1A＝eq\r(2)OO1＝14eq\r(2).]15．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的底面半径为3cm，圆锥SO的高为24cm.(1)试求圆台的母线长l；(2)若该圆锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长．[解](1)设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，O′A′＝3，∴eq\f(O′A′,OA)＝eq\f(1,4)，∴OA＝12cm.又SO＝24cm，∴SA＝eq\r(122＋242)＝12eq\r(5)cm.AA′＝eq\f(3,4)SA＝9eq\r(5)cm，即圆台的母线