构造平行线法-教学设计教案

一．构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.(第1题)2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)构造相似三角形法3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第3题)三点定型法4．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°.求证：AD·AB＝AE·AC.(第4题)等比过渡法5．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.(第5题)解码专训二：利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)证明两线段的位置关系类型1证明两线段平行2．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.(第2题)类型2证明两线段垂直3．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求证：CD⊥AB.(第3题)4．如图，已知矩形ABCD，AD＝eq\f(1,3)AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EG⊥DF.(第4题)解码专训三：巧作平行线构造相似三角形的技巧名师点金：解有关相似三角形题目时，常常遇到要证(或求)的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形时，我们通常可以作平行线构造出相似三角形，从而使问题得以解决．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP∶PQ∶QD.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF∶AF＝3∶2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求eq\f(BE,EC)的值．(第2题)3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB.(第3题)过一边上的点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：eq\f(BP,CP)＝eq\f(BD,EC).(第4题)解码专训四：相似与函数综合的常见类型名师点金：图形的相似是初中几何的重要内容，中考中常与其他内容综合考查，例如与一次函数、反比例函数、二次函数等结合，作为动态性问题或存在性问题出现．相似与一次函数的综合1．如图，已知直线AB的表达式为y＝－eq\f(3,4)x＋30，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B.动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP.设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．(第1题)(1)求t＝15时，△PEF的面积；(2)直线EF和点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160？若存在．请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(3)当t为何值时，△EOP与△BOA相似．相似与反比例函数的综合2．已知点A、B分别在反比例函数y＝eq\f(2,x)(x＞0)，y＝eq\f(－8,x)(x＞0)的图象上，且OA⊥OB，则eq\f(OB,OA)的值为()(第2题)A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．33．(2022·赤峰)如图，直线y＝－2x＋4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线表达式．(第3题)相似与二次函数的综合4．(2022·黔南州)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－eq\f(1,6)x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段PM绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D.(1)求b、c的值；(第4题)(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．5．(2022·甘孜州)如图，已知抛物线y＝ax2－5ax＋2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)和点B.(1)求抛物线的表达式；(2)求直线BC的表达式；(3)若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似(排除全等的情况)？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．解码专训五：图形的相似中五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是()A．2cm，4cm，4cm，8cmB．2cm，4cm，6cm，8cmC．1cm，2cm，3cm，4cmD．2.1cm，3.1cm，4.3cm，5.2cm2．若eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4)＝eq\f(d,7)≠0，则eq\f(a＋b＋c＋d,c)＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为________(eq\r(5)≈2.236，结果精确到0.01cm)．(第3题)平行线分线段成比例4．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与eq\f(AD,AF)相等的是()A.eq\f(AB,EF)B.eq\f(CD,EF)C.eq\f(BO,OE)D.eq\f(BC,BE)(第4题)(第5题)5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F，若BF＝eq\r(3)cm，则EF＝________.6．如图，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为()A．4∶3B．3∶4C．16∶9D．9∶16(第8题)8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE∶ED＝3∶1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF∶S四边形ABCE为()A．3∶4B．4∶3C．7∶9D．9∶79．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．(第10题)11．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第11题)相似三角形的应12．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1m)．(第12题)13．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)(第13题)图形的位似(第14题)14．如图，已知正方形