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文档简介

5.2.3正交变换化二次型为标准形5.2二次型的标准形第五章

二次型5.2.3正交变换化二次型为标准形

用正交变换X=CY化实二次型为f(x1,x2,…,

xn)

=XTAX为标准形

l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2,

等价于实对称矩阵A存在正交矩阵C，使得

由实对称矩阵相似对角化的性质（定理4.3）

l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2,5.2.3正交变换化二次型为标准形定理4.3

设A是一个n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使

定理5.4

任何一个n元实二次型

f(x1,x2,…,

xn)

=XTAX，总存可以通过正交变换X=QY化成标准形

其中为A的n个特征值.

把此定理的结论用到二次型，即有其中为A的n个特征值.

求正交变换X=QY,化二次型f(x1,x2,…,

xn)

=XTAX为标准形，只要按照实对称矩阵对角化的步骤求出正交矩阵Q即可.5.2.3正交变换化二次型为标准形正交变换化二次型为标准形的步骤：①写出二次型的矩阵A,⑤作正交变换X=QY，则它化二次型为标准形为

f=l1

y12+l2

y22+…+ln

yn2.5.2.3正交变换化二次型为标准形

例1

求一个正交变换X=QY，把二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形．解

二次型的矩阵5.2.3正交变换化二次型为标准形

A的特征多项式为

所以A的特征值是

对于二重特征根λ1=1，解齐次线性方程组得一个基础解系

再把正交化单位化，得5.2.3正交变换化二次型为标准形对于特征根λ2=-2,

解齐次线性方程组得一个基础解系再单位化，得以为列，得正交矩阵5.2.3正交变换化二次型为标准形于是正交变换X=QY把二次型化为标准形

f=y12+y22-2y32.

5.2.3正交变换化二次型为标准形

例2

已知二次型

经过正交变换化为标准形求参数a,b及所用的正交变换矩阵.解

二次型的矩阵为

设正交变换X=QY把f化成了标准形

则矩阵A的特征值为1,2,0，且

5.2.3正交变换化二次型为标准形

所以

对应于特征值1,2

,0的特征向量分别为

A的特征多项式为

5.2.3正交变换化二次型为标准形

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