2021-2022学年湖北省十堰市郧阳区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省十堰市哪阳区八年级（下）期末数

学试卷

一、选择题（共10小题，共30分）

1.下列根式是最简二次根式的是（）

A.V4B.Vx2+1C.RD.470^

2.下列计算正确的是（）

A.V2+V5=V7B.3V2-V2=3

C.（3a）2=9aD.-^=V3

3.为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统

计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）

A,平均数B.中位数C.众数D.方差

4.如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行

的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，依据是：两条铁轨和夹在

铁轨之间的两根枕木构成一个平行四边形，即可得到两条铁轨平

行.判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据是（）

A.平行线间的距离处处相等

B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

5.在平面直角坐标系中，直线y=kx-k的图象可能是（）

6.如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀

速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹

簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）

B

D.

00

7.如图，在。ABCD中，E为BC边上一点，以4E为边作正方形4EFG,若484E=45。,

乙CEF=15°,则4D的度数是（）

A.55°

B.60°

C.65°

D.70°

8.小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯

里，已知口杯的内径6cm,口杯内部高度9cm,要使吸管不斜滑到杯

里，下列吸管最短的是cm.（）

A.9B.10C.11

9.如图，正方形4BCD的边长为4,G是边BC上的一点，且

BG=3,'^AG,过。作DE1AG于点E,BF"DE交AG于

点F,则EF的长为（）

A2

A-5

C」D-l

10.如图，矩形4BCD的面积为20cm2,对角线交于点。,

以48、40为邻边作平行四边形40C1B,对角线交于

点。「以48、40］为邻边作平行四边形4。道28......依

此类推，则平行四边形力。2021c2022B的面积为

cm2.()

A5

22022B.品c.D.

二、填空题（共6小题，共18.0分）

11.若V7不乏在实数范围内有意义，贝卜的取值范围是.

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12.某小组10个人在一次数学小测试中，有3个人的平均成绩为96,其余7个人的平均

成绩为86,则这个小组的本次测试的平均成绩为

13.如图，。是△4BC内一点，BD1CD,AD=6,8。=4,CO=3,

E、F、G、H分别是AB、AC.CD.BD的中点，贝ij四边形EFGH的

周长是.

15.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的佝

股圆方图少，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形

（如图1）,且大正方形的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边

为a,较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中

最大的正方形的面积为

16.如图，菱形4BCC中，对角线AC,B0相交于点0,AC=

12,BD=16点P和点E分别为BD,CD上的动点，求

PE+PC的最小值.

三、解答题（共8小题，共72分）

17.计算下列各题:

(1)745+V18-V8+V125;

r.V3「

(2)(V3-1)--+(1+2V3).

18.如图，已知E、F为平行四边形4BC0的对角线上的两点，且BE=DF,^AEC=90°.

求证：四边形4EC尸为矩形.

19.如图，在四边形4BCD中，NB=90。，AB=BC=2,AD=1,CD=3.

(1)求4ZMB的度数.

(2)求四边形4BCD的面积.

20.为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间(单位：九，精确到l/i),抽样调

查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图.

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)求出扇形统计图中百分数a的值为,所抽查的学生人数为.

(2)求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全频数直方图.

(3)求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数.

(4)如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足(少于8小时)的学生数.

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21.如图，在。4BCD中，点E是对角线AC,BD的交点，过点E作两条互相垂直的直线,

分别与SB,BC,CD,ZM相交于点P,M,Q,N.

⑴求证：ABEPADEQ.

(2)依次连接P,M,Q,N这4个点，四边形PMQN是何特殊四边形？请说明理由.

22.截至2020年末，云南已建成5G基站1.8万个，信息能力实现跃升，5G时代的到来,

将给人们的生活带来巨大改变，现从云南某信息技术有限公司得知4、B两种型号5G

手机的进价和售价如下表所示：

型号进价(元/台)售价(元/台)

A45005100

B52006000

某营业厅按进价购进-一批4、8两种型号5G手机共花费了47800元，按售价销售完

后共获得利润6800元.

(1)该营业厅购进4、8两种型号5G手机各多少台？

(2)若该营业厅再次按进价购进A、B两种型号5G手机共30台，售价不变，且购进的

4型号5G手机的数量不少于购进的B型号5G手机数量的一半，请你帮该营业厅设计

一个方案：购进A、B两种型号5G手机各多少台时，销售完获得的利润最大？最大

利润是多少？

23.已知，点尸是矩形ZBCD边上一点，点E在边4B上，AE=BC,连接CE.

(1)如图1,点尸在边上，S.AF=BE,连接EF,求证：EF1CE；

(2)如图2,点F在边BC上，且BE=C尸，连接4F交CE于点G,求证：Z.AGE=45°；

(3)在(2)的条件下，AB=8,。£=6.则3尸=.

图1图2

24.如图，在平面直角坐标系中，点4(0,b)、B(a,0)、O(d,0),旦a、b、d满足旧TT+

|6—3|+(2—d)2=0,OElx轴且4BEO=4480,BE交y箱于点C,连接4E并

延长交x轴于点F.

(1)求点4、B、。的坐标；

(2)求点E、F的坐标；

(3)如图，点P(0,l)作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q(点Q在点P的右侧)使

NQEM=45。，QE交支轴于点N,ME交y轴的正半轴于点M,求黑丝的值.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、V4=2,故A不符合题意；

B、+1是最简二次根式,故B符合题意；

C、p=立，故C不符合题意；

5/22

D、4V03=4Xg=2&,故。不符合题意；

故选：B.

根据最简二次根式的定义，即可解答.

本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：4、通与近不能合并，所以4选项错误；

B、原式=2/，所以B选项错误；

C、原式=9a2,所以C选项错误；

。、原式=4与=H，所以。选项正确.

V3XV3

故选：D.

根据二次根式的加减法对4、B进行判断；根据幕的乘方与积的乘方法则对C进行判断;

利用分母有理化对。进行判断.

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式

的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二

次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

3.【答案】D

【解析】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差.

故选：D.

根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定.要

比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差.

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数

据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进

行合理的选择和恰当的运用.

4.【答案】D

【解析】解：根据平行四边形的判定方法可知：两组对边分别平行的四边形是平行四边

形.

故选：D.

根据平行四边形的判定方法可得答案.

此题主要考查了平行四边形的判定方法，关键是掌握平行四边形的判定方法.

5.【答案】C

【解析】解：当k>0时，一卜<0,此时函数图象经过一、三、四象限，无此选项；

当k<0时，-k>0,此时函数图象经过一、二、四象限，C选项符合.

故选：C.

当k>0时，-k<0,此时函数图象经过一、三、四象限；当k<0时，-k>0,此时

函数图象经过二、三、四象限，据此可得出结论.

本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：当铁块上面的面还在水中时，弹簧秤的读数不变；

当铁块上面的面浮出水面，下面的面还在水下时，随着铁块上浮，弹簧秤的读数逐渐变

大；

当铁块下面的面浮出水面时，弹簧秤的读数不变.

故选：C.

分析整个铁块上升的过程，由此即可得出结论.

本题考查了函数的图象，由铁块露出水面越多浮力越小找出函数图象是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据正方形的性质和已知条件可求出4B的度数，再利

用平行四边形的性质=NB即可解决问题.

本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角

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和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题,

属于中考常考题型.

【解答】

解：••・四边形力BCD是正方形，

44EF=90°,

v4CEF=15°,

乙4EB=180°-90°-15°=75°,

•••4B=180°-ABAE-AAEB=180°-45°-75°=60,

•••四边形ABCD是平行四边形，

4D=4B=60°

故选：B.

8.【答案】C

【解析】解：如图，连接4B,

A

B

由题意知，BC=6cm,AC=9cm,

由勾股定理得，AB=>JAC2+BC2=V62+92=3713(cm)，

•:3713=V117<71P，

3V13<11,

故选：C.

连接4B,利用勾股定理求出AB的长，再比较大小即可.

本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的大小比较等知识，计算出4B的长是解题

的关键.

9.【答案】C

【解析】解：VDE1AG,BF//DE,

**•BF-LAG,

・•・Z.AED=/-BFA=90°,

•••四边形4BC。是正方形，

AB=ADS./.BAD=Z.ADC=90°,

・•・/.BAF+^EAD=90°,

・・•^LEAD+/LADE=90°,

・•・Z.BAF=Z.ADE,

在△AFB和△DE4中，

(/-AED=Z-BFA

1/.BAF=Z.DAE,

\AB=AD

•••△4F8三△0EA(44S),

:.AE=BF,

在RtAABG中，AB=4,BG=3,根据勾股定理得，AG=5,

-SLABG=\ABBG=\AG-BF,

3x4=5BF,

BF=y,

由勾股定理得：AF=7AB?-BF?—^42—(~)2=~~9

.•.EF=AF-AE

555

故选：c.

先判断出乙4ED=/BF4=90。，再判断出/BAF=々IDE,进而利用“角角边”证明△

4FB和ADEA全等，根据勾股定理求出4G,再利用面积法可得BF的长，即是4E的长,

由勾股定理计算4F的长，相减可得结论.

此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△AFBWA

DE4是解本题的关键.

10.【答案】c

【解析】解：设矩形4BC0的面积为S,

根据题意得：平行四边形40GB的面积=:矩形ABCD的面积=

平行四边形401c2B的面积=抨行四边形AOGB的面积=；S=春，…,

二平行四边形4。"_心8的面积=亲

二平行四边形AOnCn+iB的面积=募，

;平行四边形AO2021C2022B的面积为爆j=分益，

故选：C.

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由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形40GB的面积=9S,平行四边形AO1C2B的

面积=套，…，根据规律代入计算，即可得出结论.

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算：熟练掌握矩形的性质，根

据题意得出规律是解决问题的关键.

11.【答案】工2-2

【解析】

【分析】

此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非

负数.根据二次根式有意义的条件:被开方数为非负数可得x+2>0,再解不等式即可.

【解答】

解：••・二次根式正工在实数范围内有意义，

二被开方数x+2为非负数，

x+2>0,

解得：x>—2.

故答案为：x>—2.

12.【答案】89

【解析】

【分析】

本题考查的是样本平均数的求法.熟记公式是解决本题的关键.先求出总成绩，再运用

求平均数公式：元=出攵产1即可求出平均成绩.

【解答】

解：•••有3个人的平均成绩为96,其余7个人的平均成绩为86,

这个小组的本次测试的总成绩为：3X96+7x86=890,

・•.这个小组的本次测试的平均成绩为：翳=89.

故答案为89.

13.【答案】11

【解析】解：丫8。_LCD,BD=4,CD=3,

BC=\/BD2+CD2=V42+32=5.

•；E、F、G、”分别是4B、AC、CD、BD的中点，

•••EH=FG=-AD,EF=GH=-BC,

22

四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC,

XvAD=6,

二四边形EFG”的周长=6+5=11.

故答案为：11.

利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边

的一半求出EH=FG=\AD,EF=GH=\BC,然后代入数据进行计算即可得解.

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边

并且等于第三边的一半是解题的关键.

14.【答案】x<4

【解析】解：•.・函数y=2x+b与函数y=版一3的图象交于点P(4,-6),

.•.不等式kx—3>2x+b的解集是x<4.

故答案为x<4.

直线y=fcx-3落在直线y=2x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求.

本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题

关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合.

15.【答案】27

【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15,(b—a)2=3,

图2中大正方形的面积为：(a+6)2,

(b-a)2=3

a2—2ab+b2=3,

•••15—2ab=3

2ab=12,

•••(a+b)2=a2+2ab+62=15+12=27,

故答案为：27.

根据题意得出。2+人2=15,(b—a)2=3,图2中大正方形的面积为：(a+b)2,然后

利用完全平方公式的变形求出(a+即可.

本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键.

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16.【答案】

【解析】解：如图，过C作CQLAD于Q,交BD于P,过P作PE_LCD于E,则此时的P、

E满足PE+PC最小.

B

•••四边形ABCD为菱形，

二AC1B。，且AC、BD互相平分，BD平分乙4DC,

•••PQ=PE,

PE+PC的最小值线段CQ的长度，

S菱形ABCD=5*BD-CQXAD,

而=y/OA2+0D2>

又4c=12,BD=16.

•••OA=6,OD=8,

•••AD=10,

cc1ACXBD48

CQ=-x--------=—.

2AD5

故答案为：

如图，过C作CQ-L4D于Q,交BD于P,过P作PE_LCD于E,则此时的P、E满足PE+PC

最小.然后利用菱形的性质可以证明PQ=PE,从而得到PE+PC的最小值线段CQ的长

度，最后利用菱形的面积公式即可求解.

本题主要考查了轴对称-最短路径的问题，同时也利用了菱形的性质和面积公式，解题

的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题.

17.【答案】解：⑴原式=36+3&-2a+5追

=8V5+V2;

(2)原式=V3-l-y+l+2V3

_5>/3

-------.

2

【解析】(1)原式化简后，合并即可得到结果；

(2)原式去括号合并即可得到结果.

此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.【答案】证明：连接4C交于0,如图所示:

•••四边形4BC0是平行四边形，

•••0A=0C,0B—0D.

vBE=DF,

:.0E=0F.

v0A=0C,

••.AECF是平行四边形；

vZ.AEC=90°,

二四边形4ECF为矩形.

【解析】连接4c交BD于。，由平行四边形的性质得出。4=0C,OB=OD,由己知条

件得出0E=0F,证出四边形4ECF为平行四边形，再由N4EC=90。，即可得出结论.

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明

四边形4ECF是解决问题的关键.

19.【答案】解：(1)连结4C,

•••乙B=90°,AB=BC=2,

AC=2VLZ-BAC=45°,

•：AD=1,CD=3,

2222

AD+AC=I+(2位产=9,CD=9,

AD2+AC2=CD2,

•••△4DC是直角三角形，

•••4DAC=90°,

乙DAB=Z.DAC+Z.BAC=135°.

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D

(2)在Rt△ABC中，S4ABe=YBC-AB=^x2x2=2,

在Rt△ADC中，S*DC=l-AD-AC=^xlx2y/2=yf2.

''S四边形.BCD=S-BC+S-DC=2+夜.

【解析】(1)由于NB=90°,AB=BC=2,利用勾股定理可求AC,并可求4B4C=45°,

而CD=3,DA=1,易得AC?+。心=。。2,可证△4CD是直角三角形，于是有乙乙4。=

90°,从而易求NB4D；

(2)连接"，则可以计算△ABC的面积，根据4D,CD可以计算△4CD的面积，四边形

4BCO的面积为4XBCfllAAOC面积之和.

本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理.解题的关键是连接AC,

并证明△ACD是直角三角形.

20.【答案】⑴45%；60；

(2)平均睡眠时间为8小时的人数为：60x30%=18人;

频数直方图如图:

(3)这部分学生的平均睡眠时间的众数是7,

12X6+27X7+8X18+9X3

平均数==7.2小时;

60

(4)1200名睡眠不足(少于8小时)的学生数="二x1200=780人.

60

【解析】解：(l)a=1-20%-30%-5%=45%；

所抽查的学生人数为：3+5%=60人；

故答案为：45%,60；

(2)见答案；

(3)见答案;

(4)见答案；

(1)根据题意列式计算即可；

(2)根据题意即可得到结果；

(3)根据众数，平均数的定义即可得到结论：

(4)根据题意列式计算即可.

此题考查了频数(率)分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本

题的关键.

21.【答案】证明：(1)•.・四边形4BCD是平行四边形，

:.EB=ED,AB//CD,

•••乙EBP=4EDQ,

在△「85和4QDE中，

(/-EBP=Z.EDQ

lEB=ED,

UBEP=Z.DEQ

••.△PBE三△QOE(ASa)；<_______________D

(2)四边形PMQN是菱形，理由如下：

・・cr—ci/,v

同理：△BME三△ONE(4S4),

/.EM=EN,

四边形PMQN是平行四边形，

•••PQ1MN,

四边形PMQN是菱形.

【解析】(1)庄I4S4证APBE三AQDE即可；

(2)由全等三角形的性质得出EP=EQ,同理ABME三ADNE(ASA),得出EM=EN,证

出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ_LMN,即可得出结论.

本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌

握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

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22.【答案】解：⑴设购进4种型号5G手机a台，B种型号5G手机b台，

(4500a+5200b=47800

1(5100-4500)a+(6000-5200)6=6800'

解得｛；：：,

答：购进A种型号5G手机6台，B种型号5G手机4台；

(2)设购进4种型号的手机x台，则购进B种型号的手机(30-x)台，利润为w元，

由题意可得：w=(5100-4500)x+(6000-5200)X(30-x)=-200x+24000,

w随x的增大而减小，

•••购进的4型号5G手机的数量不少于购进的8型号5G手机数量的一半，

•••x>^(30-%),

解得x>10,

.•.当x=10时，w取得最大值，此时w=22000,30-x=20,

答：购进4、B两种型号5G手机分别为10台、20台时，销售完获得的利润最大，最大利

润是22000元.

【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；

(2)根据题意可以得到利润与4种型号数量的函数关系式，然后根据购进的A型号5G手机

的数量不少于购进的B型号5G手机数量的一半，可以得到A种型号的数量的取值范围，

再根据一次函数的性质，即可得到采用哪种方案时，销售完获得的利润最大，请计算出

最大利润.

本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本

题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质

解答.

23.【答案】2V2

【解析】(1)证明：••・四边形ABCD是矩形，

•••〃==90。，AD/IBC,

在△45尸和4BCE中，

AE=BC

/.A—乙B,

AF=BE

.-.^AEF^^BCEfiSAS'),

・•・Z.AEF=乙BCE，

•・•乙BCE+乙BEC=90°,

・•・Z.AEF+乙BEC=90°,

:.乙FEC=90°,

・・.EF1CE；

(2)证明：如图2,过点C作G/〃4尸，交AD于H,连接EH,

图2

-AF//CH,AD//BC,

・•・四边形4FC”是平行四边形，

：.AH=CF,

・・•BE=CF,

:.BE=AH,

在△4EH和ABCE中，

AE=BC

Z-A—乙B，

AH=BE

:•乙AEH=LBCE,EH=EC,

v乙BCE+乙BEC=90°,

・•・乙4EH+乙BEC=90°,

:.乙HEC=90°,

又•・•EH=EC,

・•・Z,ECH=45°,

-AF//CH,

・・・/.AGE=LECH=45°；

(3)解：T4AEHm4BCE,

•••BE=AH,BC=AE,EC=EH=6,

在RtdE”中，EH2=AE2+AH2,

[36=(8-AH)2+4H2,

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AH=4-夜或4H=4+四(不合题意舍去),

BE=AH=CF=

•••BC=y/CE2-BE2=4+&，

BF=BC-CF=2V2,

故答案为：2&.

⑴由“S4S”可证△4EF三ABCE,可得NAEF=NBCE,由余角的性质可得结论；

(2)过点C作CH〃4F,交4。于“，可证四边形AFC"是平行四边形，可得4H=CF=BE,

由“S4S”可证△4EH三ABCE,可得乙4EH=4BCE,EH=EC,由余角的性质可求

乙HEC=90°,由等腰直角三角形的性质和平行线的性质可得结论；

(3)由勾股定理可求4H的长，BC的长，即可求解.

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活

运用这些性质解决问题是解题的关键.

24.【答案】解：(1)•••+|b—3|+(2—dp