2021-2022学年江西省赣州市瑞金市八年级（下）期中数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年江西省赣州市瑞金市八年级（下）期中数

学试卷

1.与加是同类二次根式的是（）

A.V12B.V6C.V4D.1

2.F列运算中，正确的是（）

A.)VC-3)i=-3B.-V(-5)2=5C.Va2=&D.J(—5/=5

3.已知AABC的三个内角分别为乙4、4B、乙C,三边分别为a、b、c,下列条件不能

判定AABC是直角三角形的是（）

A.z.4：Z.B：Z.C=3：4：5B,乙A=KB-Z.C

C.62=(a+c)(a—c)D.a：b：c=5：12：13

4.如图，口ABC。中，AE平分4ZMB,々B=100。，则44ED=

()

A.100°

B.80°

C.60°

D.40°

5.如图，在平行四边形ABC。中，AE1BC于E,AF1CO于

F若AE=4fAF=6,平行四边形ABC。的周长为40,则

平行四边形4BCD的面积为（）

A.24

B.36

C.40

D.48

6.如图，长方体的长为3,宽为2,高为4,点B离点。的距离为1,

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点/爬到点8,需要爬行的

最短路程是（）

A.V21

B.5

C.V29

D.V37

7.如果代数式V5口有意义，则4的取值范围是.

8.如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形,

其中最大的正方形边长为7cm,则正方形4、B、C、。的面

积和为cm2.

9.如图，在平行四边形4BCD中，E、F分别是48、DC上的点，请添加一个条件，使

得四边形EBFD为平行四边形，则添加的条件是（答案不唯一，添加一个即

可)•

10.比较大小：6VS___76.（填“>"，"="，“<”号）

11.如图，在Rt△4BC中，4c=90°,AC=3,BC=4,

D、E分别是AB和CB边上的点，把△ABC沿着直线DE

折叠,若点B落在4c边上，则CE的取值范围是

12.在平行四边形4BCD中，BF平分N4BC,交4。于点F,CE平分/BCD,交于点E,

AB=6,EF=2,则BC的长为.

13.计算：(1)低一反+国；

(2)V12xV3-V12-r-V3.

14.(1)在Rt△4BC中N/1CB=90°,AB=5,AC=4,求BC的长.

(2)在ZMBC中，48=旧，AC=2,BC=3,判断△ABC是否是直角三角形.

15.已知。=应+1,b=0-l,求下列各式的值.

(l)a2-b2；

(2)a2—ab+b2.

16.如图，在Q4BCD中，对角线AC、8。交于点。，AB=10,AD=8,ACLBC.

求：⑴。4BCD的面积；

⑵△AOD的周长.

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17.如图(1)是超市的儿童玩具购物车，图(2)为其侧面简化示意图，测得支架4C=

24cm,CB=18cm,两轮中心的距离=30cm,求点C到4B的距离.(结果保留

整数)

图⑴图⑵

18.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AB//DE,BE=CF.

(1)求证：△ABCWADEF；

(2)连接4D,求证：四边形4CFD是平行四边形.

19.先阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根

式的性质化去一层根号.

例如：+2a=>/3+2xlxV2=Jl2+2xlxV2+(V2)2=J(l+V2)2=

|1+V2|=1+V2.

解决问题：

化简下列各式：

(1)V7+4V3；

(2)V9-4V5-

1/

20.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△48C的三个

顶点均在格点上，请按要求完成下列各题.

(1)画出△4BC关于直线MN对称的△公当口；

(2)△AB1。的面积为；

(3)试判断△28C的形状并说明理由.

21.(1)如图①，4c平分ZJMB,4B=ND=90。，若DC=5,则BC=.

(2)探究：如图②，四边形/8。。,4(7平分4。48,48+4。=180。,求证:DC=BC.

(3)应用：如图③，四边形ABC。，AC平分N04B,乙B=45°,4D=135°,AD=1,

BC-3A/2.

22.在初、高中阶段,要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分

母中有无理数时,要将其化为有理数，实现分母有理化，比如:

小2_2xV32V3

⑴石=反出二丁

22(V3-1)空要2二百一1

⑵______=

V3+1(V3+1)(73-1)

试试看，将下列各式进行化简:

⑴不

⑵以

⑶战+康+…+康。

23.如图，已知在RtAABC中，44CB=90。,4c=8,BC=16,。是AC上的一点,CD=3,

点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为

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t,连接ap.

(1)当t=3秒时，求AP的长度；

(2)当AABP为等腰三角形时，求t的值；

(3)过点。作DE，4P于点E,连接PD,在点P的运动过程中，当PD平分乙4PC时,

直接写出t的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4选项，V12=2V3,故该选项不符合题意；

B选项，乃是最简二次根式，被开方数不是2,故该选项不符合题意；

C选项，〃=2,故该选项不符合题意；

。选项，p=它,故该选项符合题意；

\22

故选：D.

将各选项化简，被开方数是2的二次根式是鱼的同类二次根式，从而得出答案.

本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为

最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是

解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：4、正可=3,故此选项错误；

B、-在哥=-5,故此选项错误；

。、Va2=\a\,故此选项错误；

D、J(-5)2=5,正确.

故选：D.

直接利用二次根式的性质分别化简得出答案.

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键.

3.【答案】A

【解析】解：4、•••乙4：乙B：ZC=3：4：5,ZC=一二x180°=75°,故不能判定

3+4+5

△4BC是直角三角形；

8、•.•乙4=NB-NC,.•./B=N4+NC,NB=90。，故能判定△ABC是直角三角形;

C>>.,b2=a2-c2,b2+c2=a2,故能判定A4BC是直角三角形;

D,V52+122=132,故能判定△ABC是直角三角形；

故选：A.

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90。

即可.

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本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的

逆定理和直角三角形的定义判断.

4.【答案】D

【解析】解：在〃1BCD中，

•••AD//BC,

乙DAB=180°一4B=180°-100°=80°,

•••AE平分NZMB,

•••ADAE=ABAE=-ADAB=40°,

2

5L-：DC//AB,

•••AAED=乙BAE=40°.

故选：D.

根据平行四边形的性质和角平分线的性质求解.

本题利用了两直线平行，同旁内角互补，内错角相等和角的平分线的性质.

5.【答案】D

【解析】解：设BC=xc?n,则CD=(20—x)cm,根据“等面积法”得

4x=6(20-x),解得％=12,

二平行四边形4BCD的面积=4%=4x12=48.故选D.

己知平行四边形的高力E、AF,设BC=xcm,贝!=(20-x)cm,根据“等面积法”

列方程，求BC,从而求出平行四边形的面积.

本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形

的面积=底乂高，可用两种方法表示.

6.【答案】B

【解析】解：只要把长方体

的右侧表面剪开与前面这个

侧面所在的平面形成一个长

方形，如图1：

•••长方体的宽为2,高为4,点

B离点C的距离是1,

图3

■1•AB=V42+32=5;

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：

・••长方体的宽为2,高为4,点B离点C的距离是1,

•••AB=V22+52=V29;

只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：

•••长方体的宽为2,高为4,点B离点C的距离是1,

AB=V62+I2=V37;

•••5<V29<V37>

・•・蚂蚁爬行的最短距离是5.

故选：B.

要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用

两点之间线段最短解答.

本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股

定理求解是解答此题的关键.

7.【答案】x>2

【解析】解：由题意可得：3X—6N0,

解得：x>2,

故答案为：%>2.

根据二次根式有意义的条件列不等式求解.

本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解

题关键.

8.【答案】49

【解析】解：

1cm

根据勾股定理可得E面积=4面积+B面积，F面积=C面积+。面积，G面积=E面积+尸面

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积，

--.A,B、C、。的面积和=7X7=49（平方厘米）

故答案为：49.

根据勾股定理的几何意义解答.

此题考查勾股定理问题，灵活应用勾股定理以及正方形的性质来解决问题是关键.

9.【答案】FC=AE

【解析】解：•.•四边形4BCD平行四边形，

:.DC=AB,DCHAB,

FC=AE,

:.DF=BE,

■■■DF//BE,

•••四边形EBFD为平行四边形.

故答案为：FC=AE.

根据平行四边形的性质可得DC=4B,DC//AB,添加FC=4E,即可得OF=BE,进

而可得结论.

本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质.

10.【答案】>

【解析】解：6V5=V62X5=V180>7V3=V72X3=V147-

v180>147,

6>/5>7V5，

故答案为：>.

先把根号外的因式移入根号内，再比较即可.

本题考查了实数的大小比较法则和二次根式的性质，能选择适当的方法比较大小是解此

题的关键.

11.【答案】^<CE<2

O

【解析】解：当点B折叠后落在点C上时，此时CE最长为m=2,

当点B折叠后落在点4上时，此时CE最短，连接4E,如图,

AB'

此时DE垂直平分4B,AE=BE,设CE=x,^\BE=AE=4-x,

在RtUCE中，AC2+CE2=AE2,

32+x2=(4-x)2,

解得x=g

o

故答案为:WCE<2.

o

需要分情况讨论点B落在点4或者点C处时CE的长.

本题主要考查了翻折变换的性质和勾股定理，解题关键是能够推断出CE的最大值和最

小的位置.

12.【答案】10或14

【解析】解：•.•四边形ABCD为平行四边形，28=6,

•••CD=AB=6,AD〔IBC,

Z.AFB=Z.CBF,

...BF平分4ABC,

:.4ABF=乙CBF,

/.ABF=Z.AFB,

:.AF=AB=6,

同理。E=DC=6,

如图1,,••EF=2,

：.AE=AF-EF=6-2=4,

：.AD=BC=AE+DE=4+6=10,

如图2,--EF=2,

AE—AF+EF=6+2=8,

AD=BC=AE+DE=6+8=14,

综上所述，BC的长为10或14,

故答案为：10或14.

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根据平行四边形的性质可得CD=4B=6,结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可

求解4尸=48=6,DE=DC=6,由EF=2即可求得BC的长.

本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明4F=AB=

8,DE=DC=8是解题的关键.

13.【答案】解：(1)万一“1+8

=3V3-2V3+V3

=2V3.

(2)V12XV3-V12V3.

=6-2

=4.

【解析】(1)先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减混合运算法则计算.

(2)直接利用二次根式的乘法和除法运算法则计算.

本题考查二次根式的乘除运算、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题的

关键.

14.【答案】解：(1)由勾股定理得：BC=7AB2一心=-42=3;

(2)•••AB=V13>AC=2,BC=3,

AB2=(旧/=13,AC2+BC2=22+32=4+9=13,

AC2+BC2=AB2,

••.△ABC是直角三角形.

【解析】(1)根据勾股定理得出BC={AB2-4C*，再代入求出答案即可：

(2)先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可.

本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键,

注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直

角三角形.

15.【答案】解:(l)a2-b2=(a+b)(a+b),

a=V2+1,b=y/2—

.•.原式=(V2+1+V2-1)(V2+1-72+1)

2V2x2

=4A②

(2)当。=&+1,b=a-1时，

a2-ab+b2

=(V2+l)2+(V2-l)2-(V24-1)(夜-1)

=3+2鱼+3-2鱼一1

=5.

【解析】(1)直接利用平方差公式分解因式，进而代入计算即可得出答案；

(2)直接代入，然后根据乘法公式计算即可得出答案.

本题主要考查了二次根式的加减法和乘法，熟练掌握乘法公式是解决问题的关键.

16.【答案】解：(1)・・•四边形ABCD是平行四边形，AD=8,

:.BC=AD=8,

vAC1BC,

・・・LACB=90°,

在RM4BC中，由勾股定理得4c2=4#-.2,

AC=7AB2-BC2=V102-82=6

"S四边形ABCD=BC'AC=8X6=48；

(2)•••四边形4BCD是平行四边形，AC=6,

1

OA=OC=-AC=3,OB=OD,

2

■■■AACB=90°,BC=8,

OB=>JBC2+OC2=V82+32=V73.

OD=OB=V73,

•••CAAOD=40+%。+OD=8+3+V73=11+\/73.

【解析】(1)根据平行四边形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结

论；

(2)根据平行四边形的性质和勾股定理以及三角形的周长公式即可得到结论.

此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键.

图(2)

•••AC2+CB2=242+182=900,AB2=302=900,

AC2+BC2AB2,

•••△48c为直角三角形，即UCB=90。，

■■S^ABC=^AC-BC=ICE-AB,

•••AC-BC=CE-AB,即24x18=CEx30,

CE=14.4x14,

答：点C到力B的距离约为14cm.

【解析】过点C作CE14B于点E,则CE的长即点C到4B的距离，根据勾股定理的逆定

理得到A/BC为直角三角形，即乙4cB=90。，根据三角形的面积公式即可得到结论.

本题考查了勾股定理的应用，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，正确的识别图形

是解题的关键.

18.【答案】证明：(1)•••AB//DE,

:.乙B=乙DEF,

vBE=CF,

:.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

在△ABC和△DEF中，

AB=DE

乙B=乙DEF,

BC=EF

••.△ABC三ADE尸(SAS)；

(2)由(1)得：RABgbDEF,

:.AC=DF,Z-ACB=zF,

：.AC//DF,

二四边形4CFD是平行四边形.

【解析】(1)由S4S证明△ABC三ADEF即可；

(2)由全等三角形的性质得/C=DF,N4CB=NF,贝ij4C〃DF,即可得出结论.

本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练

掌握平行四边形的判定，证明△ABC三4DEF是解题的关键.

19.【答案】解：(1)々+4色

J4+4V3+(V3)2

=2+V3;

(2)>/9-4V5

=J4-4V5+(病产

=V5—2.

【解析】(1)首先把被开方数拆项，14+4g+(遮口再化为完全平方的形式,最后根

据二次根式的性质化简；

(2)首先把被开方数拆项，J4+4汽+(石平再化为完全平方的形式,最后根据二次根

式的性质化简.

本题考查二次根式的性质与化简、完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质，把被开方

数拆项，化为完全平方的形式是解题关键.

20.【答案】7

【解析】解：(1)A48IG如图所示；

(2)A的面积=4x4-1xlx4-ix2x3-1x2x4

=16-2-3-4

=16-9

=7.

故答案为：7；

(3)由勾股定理得，AB=Vl2+22=V5-

BC=432+42=5，

AC=V22+42=V20-

•••AB2+AC2=(V5)2+(V20)2=25，

BC2=52=25,

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.-.AB2+AC2=BC2,

••.△ABC是直角三角形.

(1)根据网格结构找出点2、B、C关于直线MN的对称点公、占、G的位置，然后顺次连

接即可；

(2)根据三角形的面积等于三角形所在的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积列式

计算即可得解；

(3)利用勾股定理列式求出4B、BC、AC,再根据勾股定理逆定理解答.

本题考查了利用轴对称变换作图，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积，熟练掌

握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键.

21.【答案】5

【解析】(1)解：MC平分NDAB,

•••Z.BAC=Z.DAC,

在ZMBC和△/WC中，

ZB=Z.D=90°

/.BAC—Z.DAC，

.AC=AC

•••△ABC三△4DCQMS),

BC=DC=5,

故答案为:5；

(2)证明：在4B上截取=连接CE,如图②所示:

•••Z.DAC=Z.EAC,

在和△E4C中，

AD=AE

/.DAC=Z.EAC>

,AC=AC

•••△ZMC三△EAC(SAS),

•••DC=EC,乙D=Z.AEC,

•：/.AEC+乙CEB=180°,

・•・CD+乙CEB=180°,

vNB+4。=180°,

:"乙CEB=Z-B,

・•・EC=BC,

・•・DC=BC；

(3)解：如图③，在48上截取4E=A0,连接CE,过C作于F,

由(2)同理可得。C=EC=BC=3V2,AD=AE=1,

・♦・乙CEB==45°,

:.乙BCE=90°,

・•.△BCE是等腰直角三角形，

•••BE—y[2BC=y/2X3A/2=6，

•••CFLAB,

：.EF=BF=-BE=3,CF=-BE=3,

22

：.AF=AE+EF=l+3=4,

在RtAAFC中，由勾股定理得：AC=^/CF2+AF2=<32+42=5.

(1)证A/IBC三△ADC(44S),再由全等三角形的性质即可得出答案；

(2)在AB上截取AE=AD,连接CE,iiEADAC=^E4C(S4S),得DC=EC,Z.D=乙4EC,

再证ZCEB=NB,得EC=BC,即可得出结论；

(3)连接4C,在4B上截取AE=4Z),连接CE,过C作CF_L4B于F,同(2)得DC=EC=

BC=3V2,AD=AE=1,再证△BCE是等腰直角三角形，得BE=&BC=6,EF=

BF=CF=^BE=3,贝必F=4E+EF=4,然后由勾股定理即可得出答案.

本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰直角三

角形的判定与性质，勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加辅助线，

构造出全等三角形，属于中考常考题型.

22.【答案】解:⑴尹慧=圣

⑵——鱼T；

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(3)原式=&-1+百一V2+.........+V9-V8

=V9—1

=3-1

=2.

［解析】(1)仿照材料方法即可化简；

(2)仿照材料方法即可化简；

(3)先将各数分母有理化，再合并即可.

本题考查二次根式的分母有理化，解题的关键式读懂题意，能将二次根式分母有理化.

23.【答案】解：(1)根据题意，得BP=2t,

•••PC=16-2t=16-2x3=10,

在RtzMPC中，AC=8,

根据勾股定理，得AP=>JAC2+PC2=忡+m2=2aL

答：4P的长为2m.

(2)在ABC中，AC=8,BC=16,

根据勾股定理，得AB=VAC2+BC2=V64+256=8A/5.

•・•△4BP为等腰三角形，

若PA=PB,贝lL4P=2t,

在RtAACP中，根据勾股定理得，(2t)2=(16-2t)2+82,解得t=5.

若BA=BP,则2t=8遥，解得t=4Z；

若AB=4P,贝ijBP=32,2t=32,解得t=16；

即满足条件的t的值为4有或16或5.

(3)①点P在线段BC上时，过点D作DE14P于E,如图1所示:

则N4E0=APED=90°,

•••APED=AACB=90。，

­­•PO平分4APC,

•••Z.EPD=乙CPD,

又•：PD=PD,

.•.△POE三△PDCQUS