河南省南阳市板场道川中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

河南省南阳市板场道川中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线m，n和平面α，且m⊥α．则“n⊥m”是“n∥α”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面垂直和线面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当m⊥α时，若n⊥m，则n∥α或n?α，即充分性不成立，若n∥α，则n⊥m成立，即“n⊥m”是“n∥α”的必要不充分条件，故选：B2.已知，复数，则（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】先求出，然后再求出.【详解】解：因为复数，所以，故，故选D.【点睛】本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对的正确理解.3.已知，，，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是(

) A．12 B．24 C．36 D．48参考答案：B考点：排列、组合及简单计数问题．分析：由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．解答： 解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24．故选B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是本题中所用到的绑定，与插空，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．5.若的（

）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B略6.是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）．第一象限

．第二象限

．第三象限

．第四象限参考答案：D，所以对应点位，在第四象限，选D.7.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意可知，硬币的圆心必须落在小正方形中，如图：该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为，故选：B

8.程序框图如图所示，若输入值t∈（1，3），则输出值S的取值范围是（）A．（3，4] B．（3，4） C．[1，9] D．（1，9）参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=的值，由t的范围，利用二次函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S=的值，可得：当t∈（1，3）时，S=4t﹣t2=4﹣（t﹣2）2∈（3，4]．故选：A．9.设，则！等于（）

(A)

(B)(C)

(D)参考答案：A略10.下列说法中正确的个数是（）（1）从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；（2）已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的充要条件；（3）若命题p：?x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：?x∈（0，），x﹣sinx≥0．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由互斥事件的概念判断（1）；举例说明（2）错误；写出全程命题的否定判断（3）．【解答】解：（1）事件C=“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，B?C，故B，C不互斥，（1）错误；（2）当a=1，b=0时，有＞此时lnb无意义，故（2）错误；（3）若命题p：?x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：?x∈（0，），x﹣sinx≥0，故（3）正确．∴正确的说法只有（3）．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则的最小值为

．参考答案：2由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得∴，当且仅当，即时，取等号故答案为2

12.一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为______________________________。

参考答案：略13.已知n∈N*，（x﹣y）2n+1展开式的系数的最大是为a，（x+y）2n展开式的系数的最大是为b，且a比b大80%，则n=

．参考答案：4【考点】二项式定理的应用．【分析】（x﹣y）2n+1展开式中间两项的系数的绝对值相等并且最大，可得a=，（x+y）2n展开式的系数的最大是=b，再利用a比b大80%，即可得出．【解答】解：（x﹣y）2n+1展开式中间两项的系数的绝对值相等并且最大，a=，（x+y）2n展开式的系数的最大是=b，∵a比b大80%，则=（1+80%），∴=，解得n=4．故答案为：4．14.函数，等差数列中，，则_______.参考答案：6415.已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则的最大值是___________。参考答案：略16.已知函数，若，f(x)≥mx，则m的取值范围是________。参考答案：[-2,e]17.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．参考答案：（I）见解析；（II）见解析；（III）【分析】（I）连结交于，连结，利用中位线可证明，即可说明平面；（II）由平面平面，底面为矩形可得：，根据勾股定理可得：，由此证明平面；（III）取的中点，连结，可证明平面，由于为中点，则过点作平面的高等于，所以，即可求出三棱锥的体积【详解】（I）连结交于，连结．因为底面是矩形，所以为中点．又因为为中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（II）

因为底面为矩形，所以．又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．因为，所以，即．因为，，平面，所以平面．（III））取的中点，连结，因为，是的中点，所以，且，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，因为为中点，所以．所以三棱锥C的体积为．20.已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．参考答案：【考点】函数零点的判定定理；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）通过求导得到单调区间找到极值点代入即可，（Ⅱ）由k≥0时不合题意．当k＜0时令g'（x）=0通过讨论得出k的值，（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞﹣1，引进新函数找到其单调区间，问题得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣a，+∞），．由f'（x）=0，得x=1﹣a＞﹣a．∵当﹣a＜x＜1﹣a时，f'（x）＞0；当x＞1﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（﹣a，1﹣a]上是增函数，在区间[1﹣a，+∞）上是减函数，∴f（x）在x=1﹣a处取得最大值．由题意知f（1﹣a）=﹣1+a=0，解得a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）﹣x，当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2﹣1＜0，知k≥0不合题意．当k＜0时，设g（x）=f（x）﹣kx2=ln（x+1）﹣x﹣kx2．则．令g'（x）=0，得x1=0，．①若≤0，即k≤﹣时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．②若，即时，对于，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减．于是，当取时，g（x0）＜g（0）=0，即f（x0）≥不成立．故不合题意．综上，k的最大值为．（Ⅲ）由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．不妨设x1＞x2＞﹣1，则要证明，只需证明，即证，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（t）＞φ（1）=0．即，得证．故原不等式恒成立．【点评】本题考察了导函数，单调区间及最值，函数的零点，不等式的证明，是一道较难的综合题．21.（本小题满分12分）甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）记“甲海选合格”为事件Ａ，“乙海选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件Ｅ．则． （4分）（Ⅱ）的所有可能取值为0,1,2,3．；；；．所以的分布列为0123．

（12分）22.已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a为常数，a≠0）．（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）在区间上的最大值；（Ⅱ）记函数f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最大值即可；（Ⅱ）设出M的坐标，分别求出直线AB的斜率k1，C在点N处的切线斜率k2，由k1=k2，得到即=﹣，得出矛盾．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，又x∈，则有如下分类：①当﹣≥2，即﹣≤a＜0时，f（x）在上是增函数，所以f（x）max=f（2）=2﹣ln2．②当1＜﹣＜2，即﹣＜a＜﹣时，f（x）在上是减函数，所以f（x）max=f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．③当﹣≤1，即a≤﹣时，f（x）在上是减函数，所以f