河南省南阳市社旗县第二中学2022年高三数学理期末试卷含解析

河南省南阳市社旗县第二中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于y轴对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）在区间（0，）单调递增参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得f（x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：把函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）的图象，显然，当x=时，f（x）=﹣1，为函数的最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．2.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（

） A.

B.

C.

D.

参考答案：A略3.等差数列{an}中，前n项和为Sn，|a3|=|a9|，公差d＜0．若存自然数N，对于任意的自然数n≥N，总有Sn+1≤Sn成立，则N值为(

)A．7和8 B．6和7 C．5和6 D．4和5参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据题意，求出首项a1与公差d的关系，得出通项公式an，利用Sn+1≤Sn，得出，由此求出n的值．【解答】解：等差数列中，∵|a3|=|a9|，∴a32=a92，即（a1+2d）2=（a1+8d）2，∴a1=﹣5d，∴an=a1+（n﹣1）d=（n﹣6）d；又Sn+1≤Sn，∴，即，化简得，解得5≤n≤6．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的前n项和以及灵活运用等差数列的通项公式解决问题的能力，是中档题目．4.已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a+c>b+d”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A5.在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，则?（﹣）等于（）A．﹣7 B．1 C．7 D．25参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用已知结合向量加法的三角形法则化简求值．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，∴?（﹣）===．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加法与减法的三角形法则，是基础的计算题．6.设复数，，则在复平面内对应的点在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D7.已知两定点，若直线上存在点P，使得，则该直线为“A型直线”。给出下列直线，其中是“A型直线”的是

。

①

②

③

④参考答案：①④略8.函数的最小正周期是

（）A． B． C．

D．参考答案：B略9.已知向量，满足?=0，||=1，||=2，则|+|=(

) A． B．2 C． D．1参考答案：A考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质即可得出．解答： 解：∵向量，满足?=0，||=1，||=2，则|+|===．故选：A．点评：本题考查了向量数量积运算性质，属于基础题．10.已知，，则

A． B． C． D．

参考答案：C

：因为，故；，故，，故.故，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是__________.参考答案：①略12.（坐标系与参数方程）己知圆C的极坐标方程为则圆心C的一个极坐标为

。参考答案：13.已知都是正实数，函数的图像过点，则的最小值是_______参考答案：略14.若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为．参考答案：﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（1﹣i）（2i+m）=m+2+（m﹣2）i是纯虚数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．15.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为_______.参考答案：【分析】通过展开图是半径为3，圆心角为的扇形，可以求出圆锥的母线、圆锥的底面周长及半径，这样可以求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出圆锥的体积.【详解】因为展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以圆锥的母线，圆锥的底面的周长为，因此底面的半径，根据勾股定理，可知圆锥的高，所以圆锥的体积为.【点睛】本题考查了求圆锥的体积问题，解题的关键是熟知圆锥侧面展开图与圆锥之间的关系.16.已知f（x）=，则f（f（））的值为

．参考答案：3e【考点】对数的运算性质．【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由＞3，可得=log3（15﹣6）=2．进而得出．【解答】解：∵＞3，∴=log3（15﹣6）=2．∴f（f（））=f（2）=3e2﹣1=3e．故答案为：3e．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题．17.若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1在区间［0，］上的最大值是，则ω＝

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，因为动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，所以，①又动圆P与直线x＝－1相切，所以r＝x＋1，②由①②消去r得y2＝8x，所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，，，所以，③显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty－2，联立方程组，消去x得y2－8ty＋16＝0，由Δ＞0得t＞1或t＜－1，所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，代入③式得，令（m为常数），整理得，④因为④式对任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以，所以或，即M（2，4）或M（2，－4），即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，－4）满足题意．19.（12分）（2014春?黄山期末）已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

专题： 导数的综合应用．分析： （1）先求出f（x），然后求f′（x），找f′（x）＞0所对应的x的区间，和f′（x）＜0所对应的x的区间，这样就求出了f（x）的单调区间；（2）想着让不等式变成一边是a，另一边含x的式子，这样便于求a的取值范围．由于x∈[1，e]，所以原不等式可变成a，令g（x）=，a需满足：a≥g（x）max，所以求函数g（x）的最大值即可．可通过求导数，判断导数的符号，得出g（x）在[1，e]的单调性，从而求出g（x）的最大值，这样便求出了a的取值范围．解答： 解：（1）a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=；∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1]，单调递增区间为（1，+∞）．（2）由已知条件得：alnx+x2≤（a+2）x，a（lnx﹣x）≤﹣x2+2x；∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取；∴lnx＜x，∴lnx﹣x＜0；∴；令g（x）=（x∈[1，e]），g′（x）=；∵x∈[1，e]，∴x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2ln2＞0；∴g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上为增函数；∴g（x）在[1，e]上的最大值为：；∴a的取值范围为：．点评： 本题考查通过判断导数符号来判读函数单调性，求单调区间的方法，而把（2）中的不等式变成是求解本题的关键．20.（13分）已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题： 导数的综合应用．分析： （1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）≤．解答： 解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0?a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0?a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴?a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，列表分析如下：

x

（0，1）

1 （1，+∞）

g′（x） +

0 ﹣

g（x）

增

极大值

减∴g（x）max=g（x）极大值=g（1）=，∴f（x0）≤．点评： 本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论．21.某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（I）求高三（1）班全体女生的人数；（Ⅱ）求分数在之间的女生人数；并计算频率分布直方图中之间的矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析女生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率.

参考答案：解：（I）设全班女生人数为，

…3分（Ⅱ）25-21=4人，根据比例关系得0.016

…6分

（Ⅲ）设六个人编号为1,2,3,4,5,6.所有可能根据列举法得

（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）

（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）15个基本事件，其中符合的是

（1