2023年小学生奥数数的整除问题知识点及练习题

小学生奥数数的整除问题知识点及练习题【#学校奥数#导语】若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，我们就说b能被a整除（或说a能整除b），b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。整除属于除尽的一种特别状况。以下是我整理的《学校生奥数数的整除问题学问点及练习题》相关资料，盼望关心到您。

1.学校生奥数数的整除问题学问点

数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。下面“特征”含义相像。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，由于100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。又由于4｜64，所以1864能被4整除。但由于2564，所以1864不能被25整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375，由于1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又由于125｜375，所以29375能被125整除。但由于8375，所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：推断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20。由于25—20＝5，又由于115，所以11123456789。

再例如：推断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。由于0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：推断1059282是否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数。由于1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。

再例如：推断3546725能否被13整除？

解：把3546725分为3546和725两个数。由于3546-725=2821。再把2821分为2和821两个数，由于821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。

2.学校生奥数数的整除问题学问点

1、整除——约数和倍数

例如：15÷3=5，63÷7=9

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a。否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

假如整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2、数的整除性质

性质1：假如a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：假如c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：假如2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），

并且2｜（10—6）。

性质2：假如b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。即：假如bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：假如b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：假如b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：假如2｜28，7｜28，且（2，7）=1，

那么（2×7）｜28。

性质4：假如c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：假如c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：假如3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.学校生奥数数的整除问题练习题

从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最终留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是（）号。

分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数；这些留下的连续报数，那么再留下的同学最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最终留下的同学的最初编号。

解：第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数

其次次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数

第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数

所以最终留下的只有一位同学，他的最初编号是1331

答：从左边数第一个人的最初编号是1331号

4.学校生奥数数的整除问题练习题

有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除．全部这样的两位数的和是（）。

分析：据题意可知，符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，假如十位数不变，则个位增加1，其和便不能整除4，因此个位数肯定是9，在全部的两位数中，符合条件两位数有：39、79．所以，所求的和是39+79=118．

解答：依据题意可知，假如两位十位数不变，则个位增加1，其和便不能整除4，

因此个位数肯定是9，加1后，十位数也相应转变；

在全部的两位数中，符合条件两位数有：39、79。所以，所求的和是39+79=118

故答案为：118

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