四川省乐山市第二中学2025-2026学年高二（下）教学质量监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省乐山市第二中学高二（下）教学质量监测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设集合A={x∈Z|x2-2x-3≤0}，B={1，3}，则∁AB=（）A.{2} B.{-1，0} C.{0，2} D.{-1，0，2}2.复数的共轭复数是（）A.2-i B.-2-i C.-2+i D.2+i3.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A.f（x）有3个零点

B.x3是f（x）的极小值点

C.函数f（x）在区间（x1，x2）上单调递减

D.f（x）的最大值是f（x1）

4.已知，是两个不共线的向量，=2-3，=4+k.若与是共线向量，则实数k=（）A.-6 B.-3 C.3 D.65.f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2-x,则=（）A. B. C. D.6.已知，，则=（）A. B. C. D.7.如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A.48种

B.72种

C.96种

D.108种

8.已知等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a1＞1，a2025•a2026＞1，，则（）A.S2025＞S2026 B.a2024•a2026-1＜0

C.T2026是数列{Tn}中的最大项 D.若Tn＜1，则n的最小值为4051二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程，则（）A.y与x具有正的线性相关关系

B.当父亲身高为170cm时，女儿身高一定为165cm

C.若父亲身高每增加1cm,则女儿身高平均增加0.8cm

D.若残差越小，说明模型的拟合效果越好10.已知a＞0且a≠1，指数函数f（x）=ax，对数函数g（x）=logax,则（）A.若f（x）的图象过点（2，4），则g（f（1））=2

B.函数y=f（x-1）的图象过定点（1，1）

C.若f（3）＞f（2），则g（log23）＞g（log32）

D.当a＞1时，对任意x1，x2∈（0，+∞），都有11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”C：x2+y2=|x|+|y|，则（）A.曲线C围成的图形面积为π+2

B.曲线C上任意两个顶点间的最大距离为

C.若点M（a,b）在曲线C上，则|a+b+3|最小值为

D.若直线kx-y+2=0与曲线C有公共点，则k的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（6，y0）到焦点F的距离为9，则p=

.13.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为

.14.为测量某海岛主峰的海拔高度，勘测船在海平面上的A点测得主峰顶点Q的仰角为30°，沿北偏东45°方向航行后到达B点，测得Q的仰角为45°，且此时主峰位于B点的正北方向，则该海岛主峰的海拔高度为

km（海平面海拔视为0，结果保留最简根式）.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1=3，9a3+2a2=1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.16.(本小题15分)

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积.17.(本小题15分)

如图，在四面体A-BCD中，BD=BC=BA，∠DBC=90°，AB⊥平面BCD，M是AB的中点，P是CM的中点，点Q在线段AD上，且AQ=3QD.

（1）求证：PQ∥平面BCD；

（2）求平面PQM与平面BCD夹角的余弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=（x2-2x）ex-ax,a∈R.

（1）若a=0，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）≥0在（0，+∞）恒成立，求a的取值范围；

（3）若f（x）有三个零点，求a的取值范围.19.(本小题17分)

一场电影观影中，影院内有n（n≥2）个座位，且每个座位都有人坐，现在观众依次检票进入影院.已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回，该观众忘记了自己的座位号，他将在n个座位中随机选择一个位置坐下.后面进场的观众，若位置未被占据，则将在自己的位置上坐下；若位置被占据，则将在剩余的位置中随机选一个坐下.

（1）若n=3，求第3位进场的观众选对位置的概率；

（2）若n=4，记X为电影院内最终坐错位置的人数，求X的数学期望E（X）；

（3）证明：无论n取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】6

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】（1）根据题意，{an}是各项均为正数的等比数列，设数列{an}的公比为q,

由于a1=3，9a3+2a2=1，则27q2+6q-1=0．

解得（舍去）或．

则．

（2）由（1）的结论，，

当n≥2时，bn-bn-1=-2，

又b1=log33=3-2×1=1，

故{bn}是首项b1=1，公差为-2的等差数列，

则．

16.【答案】（1）解：椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，

可得，解得，可得，

所求椭圆C的方程为：．

（2）解：由椭圆C的方程为：，

可知：F1（-1，0），过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,

直线l的斜率，直线l一定与椭圆C相交A、B两点，

设A（x1，y1），B（x2，y2），如图，

则直线l的方程为，

联立方程，消去y可得7x2+12x+4=0，

则，，

可得，

且点O（0，0）到直线l：的距离为．

所以△OAB的面积为．

17.【答案】（1）证明：因为AB⊥平面BCD，且BC，BD⊂平面BCD，

所以AB⊥BC，AB⊥BD，

由∠DBC=90°，知BC⊥BD，

故以B为原点，BC，BD，BA所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设BD=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），A（0，0，2），M（0，0，1），，

由AQ=3QD，得，

所以，

易知平面BCD的一个法向量为，

所以，

又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD．

（2）解：由（1）知，，平面BCD的一个法向量为，

设平面PQM的法向量为，则，即，

令x=1，则，z=2，所以，

设平面PQM与平面BCD夹角为θ，

则cosθ=，

故平面PQM与平面BCD夹角的余弦值为．

18.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=（x2-2x）ex，导函数f′（x）=（x2-2）ex，

那么f（1）=-e,且f′（1）=-e,即切点为（1，-e），切线的斜率为k=-e,

因此f（x）在（1，f（1））处的切线为y-（-e）=-e（x-1），即y=-ex.

（2）根据f（x）≥0，所以f（x）=x[（x-2）ex-a]≥0，

由于x＞0，所以（x-2）ex-a≥0，即证a≤（x-2）ex，

令g（x）=（x-2）ex，其中x∈（0，+∞），可得g′（x）=（x-1）ex，

当0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞1，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

所以g（x）min=g（1）=-e,所以a≤-e,即实数a的取值范围为（-∞，-e]．

（3）由于f（x）有三个零点，即f（x）=x[（x-2）ex-a]=0有三个根，

因为f（0）=0，所以0是f（x）的一个零点，

因此当x≠0时，（x-2）ex-a=0有两个不同的非零解，

即当x≠0时，方程a=（x-2）ex有两个不同的非零解，

可转化为y=a与y=g（x）的图象有两个非零交点，

根据（2）可知g（x）在（1，+∞）单调递增，在（-∞，1）单调递减，且g（x）min=g（1）=-e,

又因为g（0）=-2，且当x→-∞时，g（x）→0，当x→+∞时，g（x）→+∞，

画出函数y=a与y=g（x）的图象，如图所示，

当a=-2时，g（x）=-2，解得x=0，不满足非零条件，

因此-e＜a＜-2或-2＜a＜0，因此a∈（-e,-2）∪（-2，0）．

19.【答案】解：（1）设第k位观众的本座位为k,记A=“第一位进场的观众选1号位”，B=“第一位进场的观众选2号位”，C=“第二位进场的观众选1号位”．

．

．

又∵A与BC互斥，

∴．

（2）X的可能取值为0，2，3，4．

．

．

．

．

∴．

（3）证明：最后一位观众坐错位置，则最后一号位置一定被