2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题热点难点突破文含解析

数列的综合问题1．删去正整数数列1,2,3，中的全部完整平方数，获得一个新数列，这个数列的第2018项是()A．2062B．2063C．2064D．2065答案B分析由题意可得，这些数能够写为2,2,2个平方数之间有2个正整12,3,25,6,7,8,3，，第个平方数与第＋1数，而数列12,2,3,22,5,6,7,8,32，，452共有2025项，去掉45个平方数后，还节余2025－45＝1980(个)数，因此去掉平方数后第2018项应在2025后的第38个数，即是原数列的第2063项，即为2063.．已知数列{an}知足0<an<1，4－2＋＝，且数列a2＋4是以8为公差的等差数列，设{an}的前n项2an和为Sn，则知足Sn>10的n的最小值为()A．60B．61C．121D．122答案B4分析由a1－8a1＋4＝0，得a1＋a21＝8，4因此an＋a2n＝8＋8(n－1)＝8n，24因此an＋an2＝a2n＋a2n＋4＝8n＋4，2因此an＋an＝22n＋1，即a2n－22n＋1an＋2＝0，因此an＝22n＋1±22n－1＝2n＋1±2n－1，2由于0<an<1，因此an＝2n＋1－2n－1，Sn＝2n＋1－1，由Sn>10得2n＋1>11，因此n>60.3．已知数列{a}知足a1＝1，a＋1－a≥2(n∈N*)，S为数列{a}的前n项和，则( )nnnnnA．an≥2n＋1B．Sn≥n2C．an－1n－1≥2D．S≥2nn答案B分析由题意得a2－a1≥2，a3－a2≥2，a4－a3≥2，，an－an－1≥2，a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋＋an－an－1≥2(n－1)，an－a1≥2(n－1)，∴an≥2n－1.a1≥1，a2≥3，a3≥5，，an≥2n－1，a1＋a2＋a3＋＋an≥1＋3＋5＋＋2n－1，n∴Sn≥2(1＋2n－1)＝n2.6an＋1－1*)，若对n∈N*，都有>1114．数列{a}知足a1＝，a＝(n∈N＋＋＋建立，则最小的整数是( )n5nan－1a1a2anA．3B．4C．5D．6答案C5．已知f(n)表示正整数n的全部因数中最大的奇数，比如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则f(12)＝3；21的因100数有1,3,7,21，则f(21)＝21，那么f(i)的值为( )i＝51A．2488B．2495C．2498D．2500答案D分析由f(n)的定义知f(n)＝f(2n)，且若n为奇数则f(n)＝n，100则f(i)＝f(1)＋f(2)＋＋f(100)i＝11＋3＋5＋＋99＋f(2)＋f(4)＋＋f(100)50×(1＋99)＝＋f(1)＋f(2)＋＋f(50)250＝2500＋f(i)，i＝110010050∴f(i)＝f(i)－f(i)＝2500.i＝51i＝1i＝1an＋1an5整除的项数为( )6．若数列{an}知足－＝1，且a1＝5，则数列{an}的前100项中，能被2n＋52n＋3A．42B．40C．30D．20答案Ban＋1an分析∵数列{an}知足2＋5－2＋3＝1，nnan＋1ana1即2n＋13－2n＋3＝1，且2×1＋3＝1，an∴数列2n＋3是以1为首项，1为公差的等差数列，an∴＝n，2n＋3②由①得bn＝n－2，1进而cn＝＋n·2n－2.n＋1n＋2记C1＝1＋1＋＋1n＋22×33×4n＋1111111＝2－3＋3－4＋＋n＋1－n＋2＝n，n＋22记C2＝1·2－1＋2·20＋＋n·2n－2，则2C2＝1·20＋2·21＋＋n·2n－1，1两式相减得C2＝(n－1)·2n－1＋2，进而Tn＝n1n＋2＋(n－1)·2n－1＋22n＋1＝n＋2＋(n－1)·2n－1，4n＋14n＋1＋2n＋1<2n＋1＋n＋1则不等式Tn<Sn＋3＋22可化为n－1n＋2，n－122即n2＋n－90>0，由于n∈N*且n≠1，故n>9，进而最小正整数n的值是10.14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且知足Sn－n＝2(an－2)(n∈N*)．(1)证明：数列{an－1}为等比数列；(2)若bn＝an·log2(an－1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.(1)证明∵Sn－n＝2(an－2)，当n≥2时，Sn－1－(n－1)＝2(an－1－2)，两式相减，得an－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)，an－1∴＝2(n≥2)(常数)．an－1－1又当n＝1时，a1－1＝2(a1－2)，得a1＝3，a1－1＝2，∴数列{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)知，an－1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n＋1，又bn＝an·log2(an－1)，∴bn＝n(2n＋1)，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋＋bn(1×2＋2×22＋3×23＋＋n×2n)＋(1＋2＋3＋＋n)，设An＝1×2＋2×22＋3×23＋＋(n－1)×2n－1＋n×2