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文档简介

§4线性方程组解的结构设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的结构则上述方程组（1）可写成向量方程为方程组的解向量．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明证毕.１．基础解系的定义二、基础解系及其求法２．线性方程组基础解系的求法现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组的一个基础解系．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.

所以是齐次线性方程组的一个基础解系.说明１．基础解系不是唯一的．

2．若是的基础解系，则其通解为

定理4.1:.

rn-)(r<nAR=0xA=则基础解系恰含，若设齐次线性方程组个解向量，并且任意rn-个线性无关的解向量均可构成一个基础解系。,,)(

故没有基础解系。方程组只有零解时当nAR=。,,,,,,,,,)(1221121kkkkkxrnnrARrnrnrnrn+++=-<=----LLLxxxxxx

为任意实数其中方程组的解可表示为此时基础解系个向量的方程组必有含时当例1

求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有例2

解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，

其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例3证证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的结构证明证毕．定理4.2：设是非齐次线性方程组的一个解，

是其对应的齐次线性方程组的一个基础解系，则的通解为其中为任意常数。３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换例4

求解方程组解解例5

求下述方程组的解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组求基础解系

令依次得求特解所以方程组的通解为故得基础解系１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的

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