2023年高二数学人教A版必修三教案

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【一】

第1课时算法的概念

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

依据以下提纲，预习教材P2～P5，回答下列问题．

(1)对于一般的二元一次方程组a1x＋b1y＝c1，①a2x＋b2y＝c2，②其中a1b2－a2b1≠0，如何写出它的求解步骤？

提示：分五步完成：

第一步，①×b2－②×b1，得(a1b2－a2b1)x＝b2c1－b1c2，③

其次步，解③，得x＝b2c1－b1c2a1b2－a2b1.

第三步，②×a1－①×a2，得(a1b2－a2b1)y＝a1c2－a2c1，④

第四步，解④，得y＝a1c2－a2c1a1b2－a2b1.

第五步，得到方程组的解为x＝b2c1－b1c2a1b2－a2b1，y＝a1c2－a2c1a1b2－a2b1.

(2)在数学中算法通常指什么？

提示：在数学中，算法通常是指根据肯定规章解决某一类问题的明确和有限的步骤．

2．归纳总结，核心必记

(1)算法的概念

12世纪

的算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程

续表

数学中

的算法通常是指根据肯定规章解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

(2)设计算法的目的

计算机解决任何问题都要依靠于算法．只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”精确     地描述出来，计算机才能够解决问题．

[问题思索]

(1)求解某一个问题的算法是否是的？

提示：不是．

(2)任何问题都可以设计算法解决吗？

提示：不肯定．

[课前反思]

通过以上预习，必需把握的几个学问点：

(1)算法的概念：；

(2)设计算法的目的：.

[思索1]应从哪些方面来理解算法的概念？

指津：对算法概念的三点说明：

(1)算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必需是明确的和有效的，而且能够在有限步骤之内完成．

(2)算法与一般意义上详细问题的解法既有联系，又有区分，它们之间是一般和特别的关系，也是抽象与详细的关系．算法的获得要借助一般意义上详细问题的求解方法，而任何一个详细问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．

(3)算法一方面具有详细化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具有条理性、规律性的特点．

[思索2]算法有哪些特征？

指津：(1)确定性：算法的每一个步骤都是准确的，能有效执行且得到确定结果，不能模棱两可．

(2)有限性：算法应由有限步组成，至少对某些输入，算法应在有限多步内结束，并给出计算结果．

(3)规律性：算法从初始步骤开头，分为若干明确的步骤，每一步都只能有一个确定的继任者，只有执行完前一步才能进入到后一步，并且每一步都确定无误后，才能解决问题．

(4)不性：求解某一个问题的算法不肯定只有的一个，可以有不同的算法．

(5)普遍性：许多详细的问题，都可以设计合理的算法去解决．

讲一讲

1．以下关于算法的说法正确的是()

A．描述算法可以有不同的方式，可用自然语言也可用其他语言

B．算法可以看成根据要求设计好的有限的准确的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题

C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必需准确，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果

D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果

[尝试解答]算法可以看成根据要求设计好的有限的准确的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题，故B不正确．

算法过程要一步一步执行，每一步执行操作，必需准确，只能有结果，而且经过有限步后，必需有结果输出后终止，故C、D都不正确．

描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言等，故A正确．

答案：A

推断算法的关注点

(1)明确算法的含义及算法的特征；

(2)推断一个问题是否是算法，关键看是否有解决一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必需是明确和有效的，而且能够在有限步内完成．

练一练

1．(2022西南师大附中检测)下列描述不能看作算法的是()

A．洗衣机的使用说明书

B．解方程x2＋2x－1＝0

C．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤

D．利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积，就是计算π×32

解析：选BA、C、D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而B只描述了一个事例，没有说明怎样解决问题，不是算法.

假设家中生火泡茶有以下几个步骤：

a．生火b．将水倒入锅中c．找茶叶d．洗茶壶、茶碗e．用开水冲茶

[思索1]你能设计出在家中泡茶的步骤吗？

指津：a→a→c→d→e

[思索2]设计算法有什么要求？

指津：(1)写出的算法必需能解决一类问题；

(2)要使算法尽量简洁、步骤尽量少；

(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行．

讲一讲

2．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．

[尝试解答]法一：算法如下．

第一步，将方程左边因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0；①

其次步，由①得x－3＝0，②或x＋1＝0；③

第三步，解②得x＝3，解③得x＝－1.

法二：算法如下．

第一步，移项，得x2－2x＝3；①

其次步，①式两边同时加1并配方，得(x－1)2＝4；②

第三步，②式两边开方，得x－1＝±2；③

第四步，解③得x＝3或x＝－1.

法三：算法如下．

第一步，计算方程的判别式并推断其符号Δ＝(－2)2＋4×3＝16＞0；

其次步，将a＝1，b＝－2，c＝－3，代入求根公式x1，x2＝－b±b2－4ac2a，得x1＝3，x2＝－1.

设计算法的步骤

(1)仔细分析问题，找出解决此题的一般数学方法；

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；

(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；

(4)用简练的语言将步骤表示出来．

练一练

2．设计一个算法，推断7是否为质数．

解：第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.

其次步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.

因此，7是质数.

讲一讲

3．一次青青草原草原长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河．河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西．在无人看管的状况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？试设计一种算法．

[思路点拨]先依据条件建立过程模型，再设计算法．

[尝试解答]包包大人实行的过河的算法可以是：

第一步，包包大人带懒羊羊过河；

其次步，包包大人自己返回；

第三步，包包大人带青草过河；

第四步，包包大人带懒羊羊返回；

第五步，包包大人带灰太狼过河；

第六步，包包大人自己返回；

第七步，包包大人带懒羊羊过河．

实际问题算法的设计技巧

(1)弄清题目中所给要求．

(2)建立过程模型．

(3)依据过程模型建立算法步骤，必要时由变量进行推断．

练一练

3．一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？

解：法一：算法如下．

第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行其次步．

其次步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．

法二：算法如下．

第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚．

其次步，先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组．

第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元．

——————————————[课堂归纳感悟提升]——————————————

1．本节课的重点是理解算法的概念，体会算法的思想，难点是把握简洁问题算法的表述．

2．本节课要重点把握的规律方法

(1)把握算法的特征，见讲1；

(2)把握设计算法的一般步骤，见讲2；

(3)会设计实际问题的算法，见讲3.

3．本节课的易错点

(1)混淆算法的特征，如讲1.

(2)算法语言不规范致误，如讲3.

课下力量提升(一)

[学业水平达标练]

题组1算法的含义及特征

1．下列关于算法的说法错误的是()

A．一个算法的步骤是可逆的

B．描述算法可以有不同的方式

C．设计算法要本着简洁便利的原则

D．一个算法不行以无止境地运算下去

解析：选A由算法定义可知B、C、D对，A错．

2．下列语句表达的是算法的有()

①拨本地电话的过程为：1提起话筒；2拨号；3等通话信号；4开头通话或挂机；5结束通话；

②利用公式V＝Sh计算底面积为3，高为4的三棱柱的体积；

③x2－2x－3＝0；

④求全部能被3整除的正数，即3,6,9,12，….

A．①②B．①②③

C．①②④D．①②③④

解析：选A算法通常是指根据肯定规章解决某一类问题的明确和有限的步骤．①②都各表达了一种算法；③只是一个纯数学问题，不是一个明确步骤；④的步骤是无穷的，与算法的有穷性冲突．

3．下列各式中S的值不行以用算法求解的是()

A．S＝1＋2＋3＋4

B．S＝12＋22＋32＋…＋1002

C．S＝1＋12＋…＋110000

D．S＝1＋2＋3＋4＋…

解析：选DD中的求和不符合算法步骤的有限性，所以它不行以用算法求解，故选D.

题组2算法设计

4．给出下面一个算法：

第一步，给出三个数x，y，z.

其次步，计算M＝x＋y＋z.

第三步，计算N＝13M.

第四步，得出每次计算结果．

则上述算法是()

A．求和B．求余数

C．求平均数D．先求和再求平均数

解析：选D由算法过程知，M为三数之和，N为这三数的平均数．

5．(2022东营高一检测)一个算法步骤如下：

S1，S取值0，i取值1；

S2，假如i≤10，则执行S3，否则执行S6；

S3，计算S＋i并将结果代替S；

S4，用i＋2的值代替i；

S5，转去执行S2；

S6，输出S.

运行以上步骤后输出的结果S＝()

A．16B．25

C．36D．以上均不对

解析：选B由以上计算可知：S＝1＋3＋5＋7＋9＝25，答案为B.

6．给出下面的算法，它解决的是()

第一步，输入x.

其次步，假如x＜0，则y＝x2；否则执行下一步．

第三步，假如x＝0，则y＝2；否则y＝－x2.

第四步，输出y.

A．求函数y＝x2x＜0，－x2x≥0的函数值

B．求函数y＝x2x＜0，2x＝0，－x2x＞0的函数值

C．求函数y＝x2x＞0，2x＝0，－x2x＜0的函数值

D．以上都不正确

解析：选B由算法知，当x＜0时，y＝x2；当x＝0时，y＝2；当x＞0时，y＝－x2.故选B.

7．试设计一个推断圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2和直线Ax＋By＋C＝0位置关系的算法．

解：算法步骤如下：

第一步，输入圆心的坐标(a，b)、半径r和直线方程的系数A、B、C.

其次步，计算z1＝Aa＋Bb＋C.

第三步，计算z2＝A2＋B2.

第四步，计算d＝|z1|z2.

第五步，假如d>r，则输出“相离”；假如d＝r，则输出“相切”；假如d2，则执行第三步．

第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除，则n满意条件．

则上述算法满意条件的n是()

A．质数B．奇数

C．偶数D．合数

解析：选A依据质数、奇数、偶数、合数的定义可知，满意条件的n是质数．

5．(2022济南检测)输入一个x值，利用y＝|x－1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：

第一步：输入x；

其次步：________；

第三步：当x0的一个算法，并画出程序框图．

解：第一步，将1移到不等式的右边；

其次步，不等式的两端同乘12；

第三步，得到x>－12并输出．

程序框图如图所示：

—————————————[课堂归纳感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是了解程序框图的含义，理解程序框图的作用，把握各种程序框和流程线的画法与功能，理解程序框图中的挨次结构，会用挨次结构表示算法．难点是理解程序框图的作用及用挨次结构表示算法．

2．本节课要重点把握的规律方法

(1)把握画程序框图的几点留意事项，见讲1；

(2)把握应用挨次结构表示算法的步骤，见讲2.

3．本节课的易错点

对程序框图的理解有误致错，如讲1.

课下力量提升(二)

[学业水平达标练]

题组1程序框图

1．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用()

A．连接点B．推断框C．流程线D．处理框

解析：选C流程线的意义是流程进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，而连接点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连接点．推断框是依据给定条件进行推断，处理框是赋值、计算、数据处理、结果传送，所以A，B，D都不对．故选C.

2．a表示“处理框”，b表示“输入、输出框”，c表示“起止框”，d表示“推断框”，以下四个图形依次为()

A．abcdB．dcabC．bacdD．cbad

答案：D

3．假如输入n＝2，那么执行如下算法的结果是()

第一步，输入n.

其次步，n＝n＋1.

第三步，n＝n＋2.

第四步，输出n.

A．输出3B．输出4

C．输出5D．程序出错

答案：C

题组2挨次结构

4．如图所示的程序框图表示的算法意义是()

A．边长为3,4,5的直角三角形面积

B．边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积

C．边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积

D．以3,4,5为弦的圆面积

解析：选B由直角三角形内切圆半径r＝a＋b－c2，知选B.

第4题图第5题图

5．(2022东营高一检测)给出如图所示的程序框图：

若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是()

A．x＝2B．b＝2

C．x＝1D．a＝5

解析：选C∵b＝2，∴2＝a－3，即a＝5.∴2x＋3＝5时，得x＝1.

6．写出如图所示程序框图的运行结果：S＝________.

解析：S＝log24＋42＝18.

答案：18

7．已知半径为r的圆的周长公式为C＝2πr，当r＝10时，写出计算圆的周长的一个算法，并画出程序框图．

解：算法如下：第一步，令r＝10.其次步，计算C＝2πr.第三步，输出C.

程序框图如图：

8．已知函数f(x)＝x2－3x－2，求f(3)＋f(－5)的值，设计一个算法并画出算法的程序框图．

解：自然语言算法如下：

第一步，求f(3)的值．

其次步，求f(－5)的值．

第三步，将前两步的结果相加，存入y.

第四步，输出y.

程序框图：

[力量提升综合练]

1．程序框图符号“”可用于()

A．输出a＝10B．赋值a＝10

C．推断a＝10D．输入a＝1

解析：选B图形符号“”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是输出、推断和输入，故选B.

2．(2022广州高一检测)如图程序框图的运行结果是()

A.52B.32

C．－32D．－1

解析：选C由于a＝2，b＝4，所以S＝ab－ba＝24－42＝－32，故选C.

3．(2022广州高一检测)如图是一个算法的程序框图，已知a1＝3，输出的b＝7，则a2等于()

A．9B．10

C．11D．12

解析：选C由题意知该算法是计算a1＋a22的值．

∴3＋a22＝7，得a2＝11，故选C.

4．(2022佛山高一检测)阅读如图所示的程序框图，若输出的结果为6，则①处执行框应填的是()

A．x＝1B．x＝2

C．b＝1D．b＝2

解析：选B若b＝6，则a＝7，∴x3－1＝7，∴x＝2.

5．依据如图所示的程序框图所表示的算法，输出的结果是________．

解析：该算法的第1步分别将1,2,3赋值给X，Y，Z，第2步使X取Y的值，即X取值变成2，第3步使Y取X的值，即Y的值也是2，第4步让Z取Y的值，即Z取值也是2，从而第5步输出时，Z的值是2.

答案：2

6．计算图甲中空白部分面积的一个程序框图如图乙，则①中应填________．

图甲图乙

解析：图甲空白部分的面积为a2－π16a2，故图乙①中应填S＝a2－π16a2.

答案：S＝a2－π16a2

7．在如图所示的